Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 9 класса

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

а) В футбольном турнире в один круг участвовало 75 команд. За победу в матче команда получала 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Известно, что каждые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.б) Тот же вопрос для <i>n</i> команд.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

В стране Далёкой провинция называется <i>крупной</i>, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?

Рациональные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все числа  <i>x + y</i>² + <i>z</i>²,  <i>x</i>² + <i>y</i> + <i>z</i>²  и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>  целые. Докажите, что число 2<i>x</i> целое.

В параллелограмме <i>ABCD</i> опустили перпендикуляр <i>BH</i> на сторону <i>AD</i>. На отрезке <i>BH</i> отметили точку <i>M</i>, равноудалённую от точек <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i>. Докажите, что угол <i>MKD</i> прямой.

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.

Приведите пример таких чисел.

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

  А если богатырей

  б) десять?

  в) тридцать три?

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что  <i>BO = BP</i>. Найдите отношение <i>OM</i> : <i>PC</i>.

Сравните числа   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116374/problem_116374_img_2.gif">

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых 1 кг, а другого – 2 кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:

  а) по 5 шахматистов;

  б) произвольное равное число шахматистов.

Три спортсмена стартовали одновременно из точки <i>A</i> и бежали по прямой в точку <i>B</i> каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки <i>B</i>, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке <i>A</i>. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от <i>A</i> до <i>B</i> равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Дан такой выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>, что  <i>AB = BC</i>  и  <i>AD = DC</i>.  Точки <i>K, L</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AC</i> соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки <i>A</i> к прямой <i>BC</i>, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки <i>C</i> к прямой <i>AD</i>, в точке <i>H</i>. Докажите, что прямые <i>KL</i> и <i>HM</i> перпендикулярны.

Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Через <i>A</i>₁ обозначим середину дуги <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>A</i>, а через <i>A</i>₂ – середину дуги <i>BAC</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i>₁ на прямую <i>A</i>₂<i>I</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i>...

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что  ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>,  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>,  ∠<i>BOC</i> = 90°.  Найдите отношение  <i>AC</i> : <i>OC</i>.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>b</i>.

  а) Докажите, что если  <i>k</i> = 2,  то  <i>a = b</i>.

  б) В случае  <i>k</i> = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  <i>a ≠ b</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> на основании <i>BC</i> взята точка <i>D</i>, а на боковой стороне <i>AB</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что  <i>AM = ME</i>  и отрезок <i>DM</i> параллелен стороне <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AD + DE > AB + BE</i>.