Олимпиадные задачи из источника «1946 год»

В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:

  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

  3) на каждом маршруте не менее трёх остановок.

Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

На сторонах<i>PQ</i>,<i>QR</i>,<i>RP</i>треугольника<i>PQR</i>отложены отрезки<i>AB</i>,<i>CD</i>,<i>EF</i>. Внутри треугольника задана точка<i>S</i>₀. Найти геометрическое место точек<i>S</i>, лежащих внутри треугольника<i>PQR</i>, для которых сумма площадей треугольников<i>SAB</i>,<i>SCD</i>,<i>SEF</i>равна сумме площадей треугольников<i>S</i>₀<i>AB</i>,<i>S</i>₀<i>CD</i>,<i>S</i>₀<i>EF</i>. Рассмотреть особый случай, когда<div align="CENTER"> $\displaystyle...

Дан ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Найдётся ли среди первых  10⁸+ 1  членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники?

Автобусная сеть города устроена следующим образом:

  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

  3) на каждом маршруте ровно три остановки.

Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Из тридцати пунктов<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>₃₀, расположенных на прямой<i>MN</i>на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой<i>MN</i>и образуют с<i>MN</i>следующие углы:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">1</td> <td align="LEFT">2</td> <td align="LEFT">3</td> <td align="LEFT">4</td> <td align="LEFT">5</td> <td align="LEFT">6</td>...

На сторонах угла<i>AOB</i>от вершины<i>O</i>отложены отрезки<i>OA</i>и<i>OB</i>, причем<i>OA</i>><i>OB</i>. На отрезке<i>OA</i>взята точка<i>M</i>, на продолжении отрезка<i>OB</i>— точка<i>N</i>так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>=<i>x</i>. Найти значение<i>x</i>, при котором отрезок<i>MN</i>имеет наименьшую длину.

Докажите, что выражение  <i>x</i>⁵ + 3<i>x</i>⁴<i>y</i> – 5<i>x</i>³<i>y</i>² – 15<i>x</i>²<i>y</i>³ + 4<i>xy</i>⁴ + 12<i>y</i>⁵  не равно 33 ни при каких целых значениях <i>x</i> и <i>y</i>.

В шахматном турнире участвовали два ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? (Каждый из участников турнира играет с каждым из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за проигрыш – 0 очков.)

Доказать, что если$\alpha$и$\beta$— острые углы и$\alpha$<$\beta$, то<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$. </div>

Доказать, что для любого натурального<i>n</i>справедливо соотношение:<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{(2n)!}{n!}}$ = 2^{n .}(2<i>n</i> - 1)!! </div>

Доказать, что  <i>n</i>² + 3<i>n</i> + 5  ни при каком целом <i>n</i> не делится на 121.

Через точку<i>A</i>, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между сторонами угла, делится в точке<i>A</i>пополам.

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости$\alpha$и$\beta$. На линии их пересечения дана точка<i>A</i>. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости$\alpha$и проходящих через точку<i>A</i>, наибольший угол с плоскостью$\beta$образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей$\alpha$и$\beta$.

Доказать, что в произведении  (1 – <i>x + x</i>² – <i>x</i>³ + ... – <i>x</i>⁹⁹ + <i>x</i>¹⁰⁰)(1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³ + ... + <i>x</i>⁹⁹ + <i>x</i>¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих <i>x</i> в нечётной степени.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ = 6,

   <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 9,

   <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ = 3,

   <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₆ = –3,

   <i>x</i>₅ + <i>x</i>₆ + <i>x</i>₇ = –9,

   <i>x</i...

Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

На прямой даны 3 точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. На отрезке<i>AB</i>построен равносторонний треугольник<i>ABC</i>₁, на отрезке<i>BC</i>построен равносторонний треугольник<i>BCA</i>₁. Точка<i>M</i>— середина отрезка<i>AA</i>₁, точка<i>N</i>— середина отрезка<i>CC</i>₁. Доказать, что треугольник<i>BMN</i>— равносторонний. (Точка<i>B</i>лежит между точками<i>A</i>и<i>C</i>; точки<i>A</i>₁и<i>C</i>₁расположены по одну сторону от прямой<i>AB</i>....

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?