Олимпиадные задачи из источника «1981 год»
За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?
Радиус вписанной в треугольник окружности равен${\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.
В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.
Доказать, что последовательность<i>x</i><sub>n</sub>= sin(<i>n</i><sup>2</sup>) не стремится к нулю при<i>n</i>, стремящемся к бесконечности.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если <i>x</i> – целое число, то <i>P</i>(<i>x</i>) – целое число, кратное <i>p</i>
(<i>p</i> – натуральное число). Доказать, что <i>n</i>! делится на <i>p</i>.
Рассматривается функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа<i>k</i>≠ 0 соотношению<i>f</i>(<i>x</i>+<i>k</i>)<sup> . </sup>(1 −<i>f</i>(<i>x</i>)) = 1 +<i>f</i>(<i>x</i>). Доказать, что<i>f</i>(<i>x</i>) — периодическая функция.
У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках.
<i>X</i>и<i>Y</i>— два выпуклых многоугольника, причём многоугольник<i>X</i>содержится внутри<i>Y</i>. Пусть<i>S</i>(<i>X</i>) и<i>S</i>(<i>Y</i>) — площади этих многоугольников, а<i>P</i>(<i>X</i>) и<i>P</i>(<i>Y</i>) — их периметры. Доказать, что${\frac{S(X)}{P(X)}}$< 2<sup> . </sup>${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$.
Натуральные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> таковы, что каждое не превышает своего номера (<i>a<sub>k</sub> ≤ k</i>) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм <i>a</i><sub>1</sub> ± <i>a</i><sub>2</sub> ± ... ± <i>a<sub>n</sub></i> равна нулю.
Дано число, имеющее нечётное число разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.
Дано 10 натуральных чисел: <i>a</i><sub>1</sub> < <i>a</i><sub>2</sub> < <i>a</i><sub>3</sub> < ... < <i>a</i><sub>10</sub>. Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10<i>a</i><sub>1</sub>.
В пятиугольнике проведены все диагонали. Какие семь углов между двумя диагоналями или между диагоналями и сторонами надо отметить, чтобы из равенства этих углов друг другу следовало, что пятиугольник – правильный?
Имеется 5 гирь. Их массы равны 1000 г, 1001 г, 1002 г, 1004 г и 1007 г, но надписей на гирях нет и внешне они неотличимы. Имеются весы со стрелкой, которые показывают массу в граммах. Как с помощью трёх взвешиваний определить гирю в 1000 г?
Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>
Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.
Натуральное число <i>A</i> при делении на 1981 дало в остатке 35, при делении на 1982 оно дало в остатке также 35. Каков остаток от деления числа <i>A</i> на 14?
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?