Олимпиадные задачи из источника «1957 год»
Дано <i>n</i> целых чисел <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, причём <i>a<sub>i</sub> ≤ a</i><sub><i>i</i>+1</sub> ≤ 2<i>a<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, 2,..., <i>n</i> – 1) и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k + 1</sup>.
Точка<i>G</i>— центр шара, вписанного в правильный тетраэдр<i>ABCD</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>G</i>с точкой<i>O</i>, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_3.gif&q...
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78126/problem_78126_img_2.gif">
Дан четырёхугольник<i>ABCD</i>. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.
Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.
Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>12</sub> так, чтобы произведение <i>a</i><sub>1</sub>!<i>a</i><sub>2</sub>!...<i>a</i><sub>12</sub>! было минимально.
Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78121/problem_78121_img_2.gif">
Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Найти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Внутри равностороннего треугольника<i>ABC</i>находится точка<i>O</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>O</i>с центром тяжести (точкой пересечения медиан)<i>G</i>треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/problem_78117_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/proble...
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>8</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>9</sup>.
В треугольнике известны две стороны<i>a</i>и<i>b</i>. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.
В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.
В треугольнике известны две стороны<i>a</i>и<i>b</i>. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?
Радиолампа имеет семь контактов, расположенных по кругу и включаемых в штепсель, имеющий семь отверстий. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал на свое место (то есть в отверстие с тем же номером)?
Прямые<i>OA</i>и<i>OB</i>перпендикулярны. Найти геометрическое место концов<i>M</i>таких ломаных<i>OM</i>длины 1, которые каждая прямая, параллельная<i>OA</i>или<i>OB</i>, пересекает не более чем в одной точке.
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Можно ли его деформировать в треугольник?
Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (<b>Примечание.</b>Проезд в трамвае стоил 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.
При каких целых <i>n</i> число 20<sup><i>n</i></sup> + 16<sup><i>n</i></sup> – 3<sup><i>n</i></sup> – 1 делится на 323?
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.