Олимпиадные задачи из источника «2016 год»

Про приведённый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном

<i>m</i> ≥ 2  многочлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65692/problem_65692_img_2.gif">  имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) имеет действительные корни, причём только положительные?

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Можно ли отметить <i>k</i> вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) <i>k</i> = 6;   б) <i>k</i> ≥ 7?

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.

Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

С левого берега реки на правый с помощью одной лодки переправились <i>N</i> туземцев, каждый раз плавая направо вдвоем, а обратно – в одиночку. Изначально каждый знал по одному анекдоту, каждый – свой. На берегах они анекдотов не рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчику все известные ему на данный момент анекдоты. Для каждого натурального <i>k</i> найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>, при котором могло случиться так, что в конце каждый туземец знал, кроме своего, еще не менее чем <i>k</i> анекдотов.

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:

  а) меньше ⁴/₅;

  б) меньше ⁴/₇?

Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

В английском клубе вечером собрались <i>n</i> его членов  (<i>n</i> ≥ 3).  По традициям клуба каждый принес с собой сок того вида, который он предпочитает, в том количестве, которое он планирует выпить в течение вечера. Согласно правилам клуба, в любой момент любые три его члена могут присесть за столик и выпить сока (каждый – своего) в любом количестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что для того, чтобы все члены могли в течение вечера полностью выпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно, чтобы доля сока, принесенного каждым членом клуба, не превосходила одной трети от общего количества.

Внутри трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = CN</i>  и  <i>BM = DN</i>,  а четырёхугольники <i>AMND</i> и <i>BMNC</i> – вписанные. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна основаниям трапеции.

Существует ли такое значение <i>x</i>, что выполняется равенство  arcsin²<i>x</i> + arccos²<i>x</i> = 1?

На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью – ½, за проигрыш – 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?

Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?

Уравнение с целыми коэффициентами  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.

Найдите наименьшее возможное значение коэффициента <i>b</i> при этих условиях.

Внутри выпуклого четырехугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>B</i>₁ нашлась такая точка <i>C</i>, что треугольники <i>CA</i>₁<i>A</i>₂ и <i>CB</i>₂<i>B</i>₁ – правильные. Точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ симметричны точке <i>C</i> относительно прямых <i>A</i>₂<i>B</i>₂ и <i>A</i>₁<i>B</i><sub>1</sub&g...

В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее <i>N</i> матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение <i>N</i>.

В стране лингвистов существует <i>n</i> языков. Там живет <i>m</i> людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно <i>k</i>. Оказалось, что  11<i>n</i> ≤ <i>k ≤ ^m</i>/₂.

Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы <i>mn</i> пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Точка <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная стороне <i>AC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что точки <i>B, O</i> и середины отрезков <i>AP</i> и <i>CQ</i> лежат на одной окружности.

Васе задали на дом уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁ = 0,  где <i>p</i>₁ и <i>q</i>₁ – целые числа. Он нашел его корни <i>p</i>₂ и <i>q</i>₂ и написал новое уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂ = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вас...

В треугольнике <i>ABC</i> на продолжении медианы <i>CM</i> за точку <i>C</i> отметили точку <i>K</i> так, что  <i>AM = CK</i>.  Известно, что угол <i>BMC</i> равен 60°.

Докажите, что  <i>AC = BK</i>.

Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.

Чётное число орехов разложено на три кучки. За одну операцию можно переложить половину орехов из кучки с чётным числом орехов в любую другую кучку. Докажите, что, как бы орехи ни были разложены изначально, такими операциями можно в какой-нибудь кучке собрать ровно половину всех орехов.

Дан выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол <i>A</i> равен 120°, угол <i>C</i> равен 135°, а угол <i>D</i> равен <i>n</i>°.

Найдите все возможные целые значения <i>n</i>.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.