Олимпиадные задачи из источника «1967 год»
Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.
В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.
Можно ли расставить на окружности числа1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и <i>m > k</i>, что <i>m</i> и <i>n – k</i> взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>k</sub>, a</i><sub><i>k</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub>, a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: <i>a</i><sub><i>m</i>+1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>, a</i><sub><i>...
Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.
Задано такое натуральное число <i>A</i>, что для любого натурального <i>N</i>, делящегося на <i>A</i>, число <img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> тоже делится на <i>A</i>. (<img width="22" height="18" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_2.gif"> – число, состоящее из тех же цифр, что и <i>N</i>, но записанных в обратном порядке; например, <img width="36" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/78626/problem_78626_img_3.gif">...
На каждой стороне треугольника<i>ABC</i>построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>— равнобедренный.
Дана последовательность целых положительных чисел<i>X</i><sub>1</sub>,<i>X</i><sub>2</sub>...<i>X</i><sub>n</sub>, все элементы которой не превосходят некоторого числа<i>M</i>. Известно, что при всех<i>k</i>> 2<i>X</i><sub>k</sub>= |<i>X</i><sub>k - 1</sub>-<i>X</i><sub>k - 2</sub>|. Какой может быть максимальная длина этой последовательности?
Число <i>Y</i> получается из натурального числа <i>X</i> некоторой перестановкой его цифр. Известно, что <i>X + Y</i> = 10<sup>200</sup>. Доказать, что <i>X</i> делится на 50.
Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотеатров. Во всех них сеансы начинаются в 9.00, 10.40, 12.20, 14.00, 15.40, 17.20, 19.00 и 20.40 (8 сеансов). На каждый сеанс шестеро шли вместе, а кто-нибудь один (не обязательно один и тот же) шел в другой кинотеатр. К вечеру каждый побывал в каждом кинотеатре. Докажите, что в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не был ни один из этих школьников.
На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это можно сделать?
Обозначим через <i>d</i>(<i>N</i>) число делителей <i>N</i> (числа 1 и <i>N</i> также считаются делителями). Найти все такие <i>N</i>, что число <i>P</i> = <img width="36" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78619/problem_78619_img_2.gif"> – простое.
В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Число <i>y</i> получается из натурального числа <i>x</i> некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было <i>x</i>, <img align="middle" src="/storage/problem-media/78617/problem_78617_img_2.gif">
Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i><sup> . </sup>2<sup>1000</sup>нет ни одного нуля.
Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?
В треугольнике<i>ABC</i>проведены высоты<i>AE</i>,<i>BM</i>и<i>CP</i>. Известно, что<i>EM</i>параллельна<i>AB</i>и<i>EP</i>параллельна<i>AC</i>. Докажите, что<i>MP</i>параллельна<i>BC</i>.
Из первых <i>k</i> простых чисел 2, 3, 5, ..., <i>p<sub>k</sub></i> (<i>k</i> > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5, 3·7·... ·<i>p<sub>k</sub></i>, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через <i>S</i>. Доказать, что <i>S</i> + 1 разлагается в произведение более 2<i>k</i> простых сомножителей.
В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.
Доказать, что уравнение 19<i>x</i>³ – 17<i>y</i>³ = 50 не имеет решений в целых числах.
Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.
В квадрате расположено<i>K</i>точек (<i>K</i>> 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?
Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.
Чему равна максимальная разность между соседними числами из числа тех, сумма цифр которых делится на 7?
Можно ли разрезать квадратный пирог на 9 равновеликих частей таким способом: выбрать внутри квадрата две точки и соединить каждую из них прямолинейными разрезами со всеми четырьмя вершинами квадрата? Если можно, то какие две точки нужно выбрать?