Олимпиадные задачи из источника «1980 год»
См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> в) и г).
На прямоугольном листе клетчатой бумаги размером<i>m</i>×<i>n</i>клеток расположено несколько квадратов, стороны которых идут по вертикальным и горизонтальным линиям бумаги. Известно, что никакие два квадрата не совпадают и никакой квадрат не содержит внутри себя другой квадрат. Каково наибольшее число таких квадратов?
На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> ≤ 10<i>a<sub>n</sub></i> при всех натуральных <i>n</i>.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,<i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.
На хорде<i>AB</i>окружности<i>K</i>с центром в точке<i>O</i>взята точка<i>C</i>.<i>D</i>— вторая точка пересечения окружности<i>K</i>с окружностью, описанной около$\Delta$<i>ACO</i>. Доказать, что<i>CD</i>=<i>CB</i>.
Доказать, что если <i>a</i><sub>1</sub>≤<i>a</i><sub>2</sub>≤<i>a</i><sub>3</sub>≤ ... ≤<i>a</i><sub>10</sub>, то <sup>1</sup>/<sub>6</sub>(<i>a</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>6</sub>) ≤<sup>1</sup>/<sub>10</sub>(<i>a</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>10</sub>).
См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> а) и б).
Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.