Олимпиадные задачи из источника «1982 год»
Внутри правильного шестиугольника находится другой правильный шестиугольник с вдвое меньшей стороной.
Доказать, что центр большого шестиугольника лежит внутри малого шестиугольника.
Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам <i>x</i> и <i>y</i> вычислить <i>xy + x + y</i> + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i><sup>1982</sup>. Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>), что <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i> и для любого <i>i</i> = 2, ..., <i>n&l...
а)<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника. Доказать, что<i>a</i><sup>4</sup>+<i>b</i><sup>4</sup>+<i>c</i><sup>4</sup>− 2(<i>a</i><sup>2</sup><i>b</i><sup>2</sup>+<i>a</i><sup>2</sup><i>c</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup><i>c</i><sup>2</sup>) +<i>a</i><sup>2</sup><i>bc</i>+<i>b</i><sup>2</sup><i>ac</i>+<i>c</i><sup>2</sup><i>ab</i>≥ 0. б) Доказать, что<i>a</i><sup>4</sup>+<i>b</i><...
В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?
На плоскости отмечены точки с целочисленными координатами. Доказать, что найдётся окружность, внутри которой лежат ровно 1982 отмеченные точки.
Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до четырёх заданных точек минимальна.
Найти все натуральные числа <i>n</i>, для которых число <i>n</i>·2<sup><i>n</i></sup> + 1 кратно 3.
Считая известной формулу <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79414/problem_79414_img_2.gif"> доказать, что для различных натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> справедливо неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79414/problem_79414_img_3.gif"> Возможно ли равенство для каких-нибудь различных натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>?
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Доказать, что отношение каждой диагонали к соответствующей стороне равно <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79413/problem_79413_img_2.gif">
Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.
Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?
Упростить выражение <img width="188" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79410/problem_79410_img_2.gif">.
Какое наименьшее количество точек на плоскости надо взять, чтобы среди попарных расстояний между ними встретились числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64?
Петя приобрёл в магазине вычислительный автомат, который за 5 к. умножает любое введённое в него число на 3, а за 2 к. прибавляет к любому числу 4. Петя хочет, начиная с единицы, которую можно ввести бесплатно, набрать на автомате число 1981 и затратить наименьшую сумму денег. Во сколько обойдутся ему вычисления? А что будет, если он захочет набрать число 1982?
В квадрате<i>ABCD</i>находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит${\frac{1}{2}}$<i>AC</i>.
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).