Олимпиадные задачи из источника «1996 год»

Точка <i>X</i>, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из <i>X</i> к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Точки <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ..., <i>P</i>_<i>n</i>–1 делят сторону <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> на <i>n</i> равных частей:  <i>BP</i>₁ = <i>P</i>₁<i>P</i>₂ = ... = <i>P</i>_<i>n</i>–l<i>C</i>.  Точка <i>M</i> выбрана на стороне <i>AC</i> так, что  <i>AM = BP</i>₁. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108681/problem_108681_img_2.gif"></div>Докажите,...

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Сторона <i>BC</i> разделена на три равные части точками <i>K</i> и <i>L</i>, а точка <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> в отношении  1 : 2,  считая от вершины <i>A</i>. Докажите, что сумма углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i> равна 30°.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описана окружность, к ней через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные, которые пересекаются в точке <i>M</i>. Точка <i>N</i> лежит на стороне <i>BC</i>, причём прямая <i>MN</i> параллельна стороне <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AN = NC</i>.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших170<i>^o </i>.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.

В таблице 2<i>ⁿ×n</i> были выписаны всевозможные строки длины <i>n</i> из чисел 1 и –1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.)

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число  <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107816/problem_107816_img_3.gif">.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:

    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.

    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.

  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

В клетчатом квадрате10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата, нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100 золотых монет, разложенных в 10 кучек по 10 монет. Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них по кружке, откладывает в каждую кружку по несколько монет (не менее одной, но не всю кучку). Разбойник должен как-то переставить кружки, изменив их первоначальное расположение, после чего монеты высыпаются из кружек в те кучки, около которых оказались кружки. Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10, ставит около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба может уйти, унеся с собой любые три кучки по выбору. Остальные монеты достаются разбойнику. Какое наибольшее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник тоже старается получить побольше монет?

Целые числа от 1 до <i>n</i> записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат  а) при  <i>n</i> = 9,   б) при  <i>n</i> = 11,   в) при  <i>n</i> = 1996.

Докажите, что если для чисел<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>выполняются неравенства|<i>a</i>-<i>b</i>|$\ge$|<i>c</i>|,|<i>b</i>-<i>c</i>|$\ge$|<i>a</i>|,|<i>c</i>-<i>a</i>|$\ge$|<i>b</i>|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.

В углу шахматной доски размером <i>n×n</i> полей стоит ладья. При каких <i>n</i>, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за <i>n</i>² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)

В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Известно, что<i>a</i>+${\frac{b^2}{a}}$=<i>b</i>+${\frac{a^2}{b}}$. Верно ли, что<i>a</i>=<i>b</i>?

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>².  Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.