Олимпиадные задачи из источника «1983 год»

За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где  1 < <i>k</i> < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  <i>n</i>² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют

  а) хотя бы один треугольник;

  б) не менее <i>n</i> треугольников.

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  <i>t</i>(0) − <i>t</i>(^π/₅) + <i>t</i>(^2π/₅) − <i>t</i>(^3π/₅) + ... + <i>t</i>(^8π/₅) − <i>t</i>(^9π/₅),  где  <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".

Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...

Доказать, что  4^<i>m</i> − 4^<i>n</i>  делится на 3^<i>k</i>+1 тогда и только тогда, когда  <i>m − n</i>  делится на 3^<i>k</i>.

Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.

Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней <i>x</i> выполнено неравенство

<i>x</i>^2<i>n</i> ± <i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>x</i>^{2<i>n</i>–2} ± <i>x</i>^{2<i>n</i>–3} + ... + <i>x</i>⁴ ± <i>x</i>³ + <i>x</i>² ± <i>x</i> + 1 > ½  (<i>x</i> – произвольное действительное число, а <i>n</i> – натуральное).

На окружности выбрано пять точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃, <i>A</i>₄, <i>H</i>. Обозначим через <i>h_ij</i> расстояние от точки <i>H</i> до прямой <i>A_iA_j</i>. Доказать, что   <i>h</i>₁₂<i>h</i>₃₄ = <i>h</i>₁₄<i>h</i>₂₃.

В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно <i>любой</i> оси симметрии?

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

На сторонах треугольника<i>ABC</i>вне его построены правильные треугольники<i>ABC</i>₁,<i>BCA</i>₁и<i>CAB</i>₁. Доказать, что$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{0}$.

Доказать, что при любых  <i>x</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif">   и  <i>y</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif">   выполняется неравенство  <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³<i>y</i> + <i>x</i>²<i>y</i>² – <i>xy</i>³ + <i>y</i>⁴ > <i>x</i>² + <i>y</i>².

Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Найти наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4 и уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.

Белая плоскость произвольным образом забрызгана чёрной тушью. Доказать, что для любого положительного<i>l</i>существует отрезок длины<i>l</i>, у которого оба конца одного цвета.

Найти все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  удовлетворяющих уравнению  <i>x</i>² = <i>y</i>² + 2<i>y</i> + 13.

Dписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Известно, что  <i>AA</i>₁ = <i>BB</i>₁ = <i>CC</i>₁.  Докажите, что треугольник <i>ABC</i> правильный.