Олимпиадные задачи из источника «1951 год»

Окружность обладает тем свойством, что внутри неё можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая вершина треугольника описывала эту окружность. Найти замкнутую несамопересекающуюся кривую, отличную от окружности, внутри которой также можно двигать правильный треугольник так, чтобы каждая его вершина описывала эту кривую.

Автобусный маршрут содержит 14 остановок (считая две конечные). В автобусе одновременно могут ехать не более 25 пассажиров. Доказать, что во время поездки автобуса из одного конца в другой

  a) найдутся восемь таких различных остановок <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>A</i>₃, <i>B</i>₃, <i>A</i>₄, <i>B</i>₄, что ни один пассажир не едет от <i>A</i>₁ до <i>B</i>₁, ни один пассажир не едет от <i>A</i><sub>2</su...

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.

Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

Все рёбра треугольной пирамиды равны<i>a</i>. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.

При делении многочлена  <i>x</i>¹⁹⁵¹ – 1  на  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при <i>x</i>¹⁴.

Проекцией точки<i>A</i>из точки<i>O</i>на плоскость<i>P</i>называется точка<i>A'</i>, в которой прямая<i>OA</i>пересекает плоскость<i>P</i>. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка<i>O</i>не лежит в его плоскости?

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

На плоскости даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и три угла$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>F</i>, меньшие180^<tt>o</tt>и в сумме равные360^<tt>o</tt>. Построить с помощью линейки и транспортира точку<i>O</i>плоскости такую, что$\angle$<i>AOB</i>=$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>BOC</i>=$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>COA</i>=$\angle$<i>F</i>(с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).

Докажите, что число  <img align="middle" src="/storage/problem-media/77928/problem_77928_img_2.gif">  не является кубом никакого целого числа.

Даны три параллельные прямые на равных расстояниях друг от друга. Как надо изображать точками соответствующих прямых величины сопротивления, напряжения и силы тока в проводнике, чтобы, прикладывая линейку к точкам, изображающим значения сопротивления<i>R</i>и значения силы тока<i>I</i>, получить на шкале напряжения точку, изображающую величину напряжения<i>V</i>=<i>I</i>^.<i>R</i>(точка каждой шкалы изображает одно и только одно число).

Имеется кусок цепи из 150 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно было составить все веса в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 150 г (раскованное звено весит тоже 1 г)?

Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?

Докажите, что первые три цифры частного   <img width="230" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77924/problem_77924_img_2.gif">   суть 0,239.

Из всех выпуклых многоугольников, у которых одна сторона равна<i>a</i>и сумма внешних углов при вершинах, не прилегающих к этой стороне, равна120^<tt>o</tt>, выбрать многоугольник наибольшей площади.

Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно было составить все веса в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено весит тоже 1 г)?

Точка внутри равнобокой трапеции соединяется со всеми вершинами. Доказать, что из четырёх полученных отрезков можно сложить четырёхугольник, вписанный (Разрешается, чтобы вершины четырёхугольника лежали не только на сторонах трапеции, но и на их продолжениях — прим. ред.) в эту трапецию.

Что больше   <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_2.gif">   или <img width="252" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77920/problem_77920_img_3.gif">?

У выпуклых четырёхугольников<i>ABCD</i>и<i>A'B'C'D'</i>соответственные стороны равны.

Доказать, что если$\angle$<i>A</i>>$\angle$<i>A'</i>, то$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>B'</i>,$\angle$<i>C</i>>$\angle$<i>C'</i>и$\angle$<i>D</i><$\angle$<i>D'</i>.

Докажите, что многочлен  <i>x</i>¹² – <i>x</i>⁹ + <i>x</i>⁴ – <i>x</i> + 1  при всех значениях <i>x</i> положителен.