Олимпиадная задача по планиметрии Ивлева: Прямая через точки A', B', C'

  Обозначим точку пересечения прямой A₁A' с прямой A₂I через X_A, а описанную окружность ΔABC через ω (см. рис.). По условию  ∠A₂XAA₁ = 90°.  Так как A₂A₁ – диаметр, точка X_A лежит на ω. Рассмотрим теперь описанные окружности ω₁ и ω₂треугольников ABC, BIC и IX_AA₁. Радикальная ось ω и ω₁ есть прямая BC, а ω₁ и ω₂ – X_AA₁. Значит, радикальным центром всех этих трёх окружностей является точка A'. Заметим, что точка A₁ является центром ω₁ (см. задачу 153119). Так как угол IX_AA₁ прямой, то IX_A – диаметр ω₂. Следовательно, ω₁ и ω₂ касаются в точке I. Значит, касательная к этим окружностям, проведённая в точке I, проходит через A', и  A'I² = A'B·A'C  (по теореме о касательной и секущей).

  Рассмотрим ω и точкуI, как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точкаA'лежит на радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точкиB'иC'. Так как радикальная ось двух окружностей – прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей, то есть прямойOI.

Ответ задачи отсутствует