Олимпиадные задачи из источника «1970 год»
В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?
Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке<i>O</i>, не могут попасть предметы<i>A</i>и<i>B</i>такие, что угол<i>AOB</i>больше179<sup><tt>o</tt></sup>. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.
Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 33 на 11 групп, по три числа в каждой, так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?
При обычной игре в домино кости выкладываются так, чтобы разность между числами на соседних костях равнялась 0.
Можно ли выложить все 28 костей в замкнутую цепь так, чтобы все эти разности равнялись ±1?
Имеется натуральное число <i>n</i> > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2<sup><i>n</i></sup> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.
Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?
Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает <b>в 3 раза быстрее</b> сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
Внутри круга радиуса 1 м расположены<i>n</i>точек. Доказать, что в круге или на его границе существует точка, сумма расстояний от которой до всех точек не меньше<i>n</i>метров.
В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от папы и мамы. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их (все трое всё время видят друг друга)?
На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.
У числа 2<sup>1970</sup> зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.
Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.
Дано 999-значное число. Известно, что если взять из него любые 50 последовательных цифр и вычеркнуть все остальные, то полученное число будет делиться на 2<sup>50</sup>. (Оно может начинаться с нулей или просто быть нулём.) Доказать, что исходное число делится на 2<sup>999</sup>.
12 теннисистов участвовали в турнире. Известно, что каждые два теннисиста сыграли между собой ровно один раз и не было ни одного теннисиста, проигравшего все встречи. Доказать, что найдутся такие теннисисты <i>A, B, C</i>, что <i>A</i> выиграл у <i>B, B</i> у <i>C, C</i> у <i>A</i>. (В теннисе ничьих не бывает.)
На каждую чашку весов положили <i>k</i> гирь, занумерованных числами от 1 до <i>k</i>, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять чашками любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких <i>k</i> это возможно?
В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.
Внутри правильного треугольника<i>ABC</i>лежит точка<i>O</i>. Известно, что$\angle$<i>AOB</i>= 113<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>BOC</i>= 123<sup><tt>o</tt></sup>. Найти углы треугольника, стороны которого равны отрезкам<i>OA</i>,<i>OB</i>,<i>OC</i>.
На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.
На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая <i> одним ходом</i> взяла <i>все</i> чёрные шашки, включая две первоначально стоявшие?
В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub>, а другая — в точках <i>L</i><sub>1</sub> и <i>L</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i><sub>1</sub><i>L</i><sub>2</sub> высекает на этих двух окружностях равные хорды.