Олимпиадные задачи из источника «1959 год»
Два концентрических круга поделены на 2<i>k</i>равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.
Даны<i>n</i>комплексных чисел<i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>2</sub>,...,<i>C</i><sub>n</sub>, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника. Доказать, что если комплексное число<i>z</i>обладает тем свойством, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0, </div>то точка плоскости, соответствующая<i>z</i>, лежит внутри этого<i>n</i>-угольника.
Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную
- Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее${\frac{1}{9}}$.
Пусть<i>ABCD</i>— пространственный четырёхугольник, точки<i>K</i><sub>1</sub>и<i>K</i><sub>2</sub>делят соответственно стороны<i>AB</i>и<i>DC</i>в отношении$\alpha$, точки<i>K</i><sub>3</sub>и<i>K</i><sub>4</sub>делят соответственно стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>в отношении$\beta$. Доказать, что отрезки<i>K</i><sub>1</sub><i>K</i><sub>2</sub>и<i>K</i><sub>3</sub><i>K</i><sub>4</sub>пересекаются.
В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше180<sup><tt>o</tt></sup>.
<i>n</i>отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2<i>n</i>-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2<i>n</i>-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
Даны сто чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>,..., <i>x</i><sub>100</sub>, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей <i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> – <i>x<sub>k</sub></i> меньше <sup>1</sup>/<sub>50</sub> каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Даны два пересекающихся отрезка длины 1,<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>не меньше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.
Даны 12 чисел,<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...<i>a</i><sub>12</sub>, причём имеют место следующие неравенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>2</sub>(<i>a</i><sub>1</sub> - <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>)</td> <td align="CENTER"><</td> <td align="LEFT">0</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>3</sub>(<i>a</i><sub>2</sub> - <i>a</i&...
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Доказать, что в любом шестизначном числе можно переставить цифры так, чтобы сумма первых трёх отличалась от суммы вторых трёх меньше, чем на 10.
На какое целое число надо умножить999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Имеется два набора чисел <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b<sub>n</sub></i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>n</sub> > a</i><sub>1</sub><i>b<sub>n</sub> + a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + <i>a&...
Дана невозрастающая последовательность чисел <sup>1</sup>/<sub>2<i>k</i></sub> = <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ ... > 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> + ... = 1.
Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.
В квадратную таблицу <i>N×N</i> записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем <i>N</i>², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.
Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?
Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что <i>x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> = z<sup>k</sup></i> при условии <i>x < k, y < k</i>.
Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть <i>P<sub>k</sub></i> – число всех непересекающихся ломаных длины <i>k</i>, начинающихся в точке <i>O</i> – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что <i>P<sub>k</sub></i>·3<sup>–<i>k</i></sup> < 2 для любого <i>k</i>.
Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.