Олимпиадные задачи из источника «1964 год»

При дворе короля Артура собрались 2<i>n</i>рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  <i>n</i>– 1  врага. Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Пирог имеет форму правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>BC</i> равна полусумме двух других сторон. Через точку <i>A</i> и середины <i>B', C'</i> сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Из точки<i>O</i>на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа <i>n</i> существуют ровно <i>n</i> карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Дан треугольник<i>ABC</i>, причём сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина<i>A</i>, середины сторон<i>AB</i>и<i>AC</i>и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78539">задачей 4 для 9 класса</a>).

Дана система из<i>n</i>точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_<i>n</i> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.

Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

В треугольнике<i>ABC</i>сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла<i>A</i>перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Доказать, что любое чётное число 2<i>n</i>$\ge$0 может быть единственным образом представлено в виде2<i>n</i>= (<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>, где<i>x</i>и<i>y</i>— целые неотрицательные числа.

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₇взята произвольно точка<i>O</i>. Обозначим через<i>H</i>₁,<i>H</i>₂,...,<i>H</i>₇основания перпендикуляров, опущенных из точки<i>O</i>на стороны<i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃,...,<i>A</i>₇<i>A</i>₁соответственно. Известно, что точки<i>H</i>&l...

На квадратном поле размерами99×99, разграфленном на клетки размерами1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, лежащие на одной прямой, и точка<i>O</i>вне этой прямой. Обозначим через<i>O</i>₁,<i>O</i>₂,<i>O</i>₃центры окружностей, описанных около треугольников<i>OAB</i>,<i>OAC</i>,<i>OBC</i>. Доказать, что точки<i>O</i>₁,<i>O</i>₂,<i>O</i>₃и<i>O</i>лежат на одной окружности.

В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

При каких натуральных<i>a</i>существуют такие натуральные числа<i>x</i>и<i>y</i>, что(<i>x</i>+<i>y</i>)²+ 3<i>x</i>+<i>y</i>= 2<i>a</i>?

Через противоположные вершины<i>A</i>и<i>C</i>четырёхугольника<i>ABCD</i>проведена окружность, пересекающая стороны<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и<i>AD</i>соответственно в точках<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>и<i>Q</i>. Известно, что<i> BM = BN = DP = DQ = R </i>, где<i>R</i>— радиус данной окружности.

Доказать, что в таком случае сумма углов<i>B</i>и<i>D</i>данного четырёхугольника равна120^<tt>o</tt>.

В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.

Собрались 2<i>n</i>человек, каждый из которых знаком не менее чем с<i>n</i>присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (<i>n</i>$\ge$2).

На отрезке <i>AB</i> выбрана произвольно точка <i>C</i> и на отрезках <i>AB, AC</i> и <i>BC</i>, как на диаметрах, построены окружности Ω₁, Ω₂ и Ω₃. Через точку <i>C</i> проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω₁ в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а окружности Ω₂ и Ω₃ в точках <i>R</i> и <i>S</i> соответственно. Доказать, что  <i>PR = QS</i>.

На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Число<i>N</i>является точным квадратом и не заканчивается нулём. После зачёркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный квадрат. Найти наибольшее число<i>N</i>с таким свойством.

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ <i>BD</i>, а также <i>BN</i> и <i>DQ</i> на диагональ <i>AC</i>.

Доказать, что четырёхугольники <i>ABCD</i> и <i>MNPQ</i> подобны.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78518">задачу 4 для 8 класса</a>. Кроме того, доказать, что если длины отрезков<i>a</i>₁,...,<i>a</i>₆удовлетворяют соотношениям:<i>a</i>₁-<i>a</i>₄=<i>a</i>₅-<i>a</i>₂=<i>a</i>₃-<i>a</i>₆, то из этих отрезков можно построить равноугольный шестиугольник.