Олимпиадные задачи из источника «1954 год»

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i>₁, <i>AB</i>₂, <i>AB</i>₃, <i>AB</i>₄, <i>AB</i>₅. Из каждой точки <i>B</i>_i могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).

Если дан ряд из 15 чисел<div align="CENTER"> <i>a</i>₁, <i>a</i>₂,..., <i>a</i>₁₅, (1) </div>то можно написать второй ряд<div align="CENTER"> <i>b</i>₁, <i>b</i>₂,..., <i>b</i>₁₅, (2) </div>где<i>b</i>_i(<i>i</i>= 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших<i>a</i>_i. Существует ли ряд чисел<i>a</i>_i, если дан ряд чисел<i>b</i>_i:<div align="CENTER"> 1, 0, 3, 6, 9, 4, 7...

Сто положительных чисел <i>C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>₁₀₀ удовлетворяют условиям   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78018/problem_78018_img_2.gif">

Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Даны четыре прямые<i>m</i>₁,<i>m</i>₂,<i>m</i>₃,<i>m</i>₄, пересекающиеся в одной точке<i>O</i>. Через произвольную точку<i>A</i>₁прямой<i>m</i>₁проводим прямую, параллельную прямой<i>m</i>₄, до пересечения с прямой<i>m</i>₂в точке<i>A</i>₂, через<i>A</i>₂проводим прямую, параллельную<i>m</i>₁, до пересечения с<i>m</i>₃в точке<i>A</i><sub>3</sub...

На двух лучах<i>l</i>₁и<i>l</i>₂, исходящих из точки<i>O</i>, отложены отрезки<i>OA</i>₁и<i>OB</i>₁на луче<i>l</i>₁и<i>OA</i>₂и<i>OB</i>₂на луче<i>l</i>₂; при этом${\frac{OA_1}{OA_2}}$$\ne$${\frac{OB_1}{OB_2}}$.

Определить геометрическое место точек<i>S</i>пересечения прямых<i>A</i>₁<i>A</i>₂и<i>B</i>₁<i>B</i>₂при вращении луча<i>l</i><su...

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Дано число  <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что  <i>AB = CD,  AD = BC</i>  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.

Решить систему:     10<i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ = 0,     11<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + 2<i>x</i>₄ + 3<i>x</i>₅ + <i>x</i>₆ = 0,     15<i>x</i>₃ + 4<i>x</i>₄ + 5<i>x</i>₅ + 4<i>x</i>₆ + <i>x</i>₇ = 0,     2<i>x</i><sub>1&...

План города представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников – шоссейные дороги, а вершины треугольников – перекрестки. Из точек <i>A</i> и <i>B</i>, расположенных на одной дороге (стороне треугольника), одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрёстка, каждая машина может или продолжить свое движение в том же направлении, или же повернуть на 120° вправо или влево. Могут ли машины встретиться?

Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке (идущем по сторонам клеток - прим.ред.), соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти все действительные решения уравнения  <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.

Существуют ли в пространстве четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>такие, что<i>AB</i>=<i>CD</i>= 8 см,<i>AC</i>=<i>BD</i>= 10 см,<i>AD</i>=<i>BC</i>= 13 см?

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— точки пересечения прямых<i>AS</i>,<i>BS</i>,<i>CS</i>соответственно со сторонами<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника, где<i>S</i>— произвольная внутренняя точка треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников<i>AB</i>₁<i>SC</i>₁,<i>C</i>₁<i>SA</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₁<i>SB</i&...

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 3<i>a</i>₂ + 2<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + 2<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 3<i>a</i>₄ + 2<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 3<i>a</i>₁₀₀ +...

Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².

Найти все решения системы уравнений   <i>x</i>(1 – 2^–<i>n</i>) + <i>y</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–1}) + <i>z</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–2}) = 0,   где  <i>n</i> = 1, 2, 3, 4, ...

Из произвольной внутренней точки<i>O</i>выпуклого<i>n</i>-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки<i>O</i>по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Из квадрата размером 3 на 3 вырезать одну фигуру, которая представляет развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1.

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.