Олимпиадные задачи из источника «1956 год»

На продолжениях сторон <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, ..., <i>A_nA</i>₁ правильного <i>n</i>-угольника (<i>n</i> ≥ 5) <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> построить точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ..., <i>B_n</i> так, чтобы <i>B</i>₁<i>B</i>₂ было перпендикулярно к <i>A</i><sub>1&lt...

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

Подряд выписаны<i>n</i>чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.

На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.

Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i>₁ = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i>₁= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i>₁= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i>₁,<i>y</i>₁,<i>z</i>₁построили числа<i>x</i>₂,<i>y</i>₂,<i>z</i>₂и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...

В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?

В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.

100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна, и, в-третьих, каждое число, сумма которого с двумя следующими положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?

Все точки данного отрезка<i>AB</i>проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку<i>O</i>. Найти геометрическое место этих проекций.

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на двух диагоналях, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно любой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в любой строке меньше 518.

Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола.

(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

100 чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, выписаны в ряд. Подчеркнуто, во-первых, каждое положительное число, а во-вторых, каждое число, сумма которого со следующим положительна. Может ли сумма всех подчеркнутых чисел оказаться отрицательной? Равной нулю?

Точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃, <i>A</i>₄, <i>A</i>₅, <i>A</i>₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i>₁ провёден луч <i>l</i>₁ в направлении <i>A</i>₂, из <i>A</i>₂ – луч <i>l</i>₂ в направлении <i>A</i>₃, ..., из <i>A</i>₆ – луч <i>l</i>₆ в направлении <i>A</i><s...

Точка<i>O</i>— центр круга, описанного около треугольника<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁симметричны точке<i>O</i>относительно сторон треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что все высоты треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проходят через точку<i>O</i>, а все высоты треугольника<i>ABC</i>проходят через центр круга, описанного около треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁.

Докажите, что система уравнений     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = <i>a</i>,     <i>x</i>₃ – <i>x</i>₄ = <i>b</i>,     <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда  |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья:<i>A</i>₁<i>A</i>₂в точке<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>A</i>₃— в точке<i>B</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁-- в точке<i>B</i>_n. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1. </div>

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2<i>r</i>, но больше$\sqrt{2}$<i>r</i>, где<i>r</i>— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Даны положительные числа<i>h</i>,<i>s</i>₁,<i>s</i>₂и расположенный в пространстве треугольник<i>ABC</i>. Сколькими способами можно выбрать точку<i>D</i>так, чтобы в тетраэдре<i>ABCD</i>высота, опущенная из вершины<i>D</i>, была равна<i>h</i>, а площади граней<i>ACD</i>и<i>BCD</i>соответственно<i>s</i>₁и<i>s</i>₂(исследовать все возможные случаи)?

В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>взят четырехугольник<i>KLMN</i>, образованный центрами тяжести треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>DBA</i>и<i>CDA</i>. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>ABCD</i>, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>KLMN</i>.

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь   <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif">  сократима на число <i>k</i>, то  <i>ad – bc</i>  делится на <i>k</i>.