Олимпиадная задача по планиметрии о прямом угле MKD в параллелограмме ABCD для 7-9 класса

Решение 1:Пусть L – середина отрезка CD (рис. слева), тогда  ML ⊥ CD,  как медиана равнобедренного треугольника CMD.  LM ⊥ BK,  так как  BK || CD;

BM ⊥ KL,  так как  KL || AD.  Это значит, что M – ортоцентр треугольника KLB, то есть  KM ⊥ BL || KD.

Решение 2:Пусть N – точка пересечения прямых DK и BC (рис. в центре). Треугольники KAD и KBN равны по второму признаку. Отсюда  NB = BC,  и BM является серединным перпендикуляром к отрезку CN. Значит, точка M равноудалена от точек N, C и D, то есть является центром описанной окружности треугольника NCD. Поэтому  MK ⊥ ND.

Решение 3:Построим точку P, симметричную точке M относительно K (рис. справа). Треугольники AKP и MKB равны по первому признаку, поэтому  AP = BM.  Кроме того,  ∠PAK = ∠MBK,  и потому  AP || BM.  Следовательно, угол PAD прямой и треугольники MBC и PAD равны. Значит,  PD = MC.  Тем самым, треугольник PDM равнобедренный  (MD = MC = PD),  а DK – его медиана, и, следовательно, высота.

Решение 4:Пусть P и Q – середины отрезков MC и MD соответственно (рис. слева). PQ – средняя линия треугольника MCD, поэтому она параллельна отрезку CD и равна половине его длины. Следовательно, PQ и BK параллельны и равны, то есть BPQK – параллелограмм. BP – медиана прямоугольного треугольника MBC, и потому равна ½ MC, то есть медиана KQ треугольника MKD равна половине стороны, к которой проведена. Следовательно, этот треугольник прямоугольный.

Решение 5:Точки L и H лежат на окружности Ω с диаметром MD (рис. справа). Так как  KH = ½ AB = AK = DL,  то KLDH – равнобокая трапеция. Следовательно, точка K лежит на Ω, и  ∠MKD = 90°.

Ответ задачи отсутствует