Олимпиадные задачи из источника «1947 год»

Внутри квадрата<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈. Внутри<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈выбрана точка<i>A</i>₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.

Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.

В числовом треугольнике <div align="center"><img src="/storage/problem-media/76551/problem_76551_img_2.gif"></div>каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.

<i>k</i>проволочных треугольников расположены в пространстве так, что:

1. каждые 2 из них имеют ровно одну общую вершину,

2. в каждой вершине сходится одно и то же число<i>p</i>треугольников.

Найдите все значения<i>k</i>и<i>p</i>, при которых указанное расположение возможно.

В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.

Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 199, 200 произвольно выбрали сто одно число.

Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размерам и внешнему виду, алюминиевые, остальные (Предполагается, что все кубики могут быть алюминиевыми, но они не могут быть все дюралевыми (если все кубики окажутся одного веса, то нельзя выяснить, алюминиевые они или дюралевые) — прим. ред.) дюралевые (более тяжёлые). Как при помощи 11 взвешиваний на весах с 2-мя чашечками без гирь определить число дюралевых кубиков?

Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку<i>M</i>на данном расстоянии<i>d</i>от данной прямой<i>AB</i>.

Докажите, что каково бы ни было целое число <i>n</i>, среди чисел <i>n,  n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 9  есть хотя бы одно, взаимно простое с остальными девятью.

Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76542/problem_76542_img_2.gif">

В каком из выражений:  (1 – <i>x</i>² + <i>x</i>³)¹⁰⁰⁰,   (1 + <i>x</i>² – <i>x</i>³)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при <i>x</i>²⁰?

Точка<i>O</i>является точкой пересечения высот остроугольного треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что 3 окружности, проходящие: первая через точки<i>O</i>,<i>A</i>,<i>B</i>, вторая — через точки<i>O</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и третья — через точки<i>O</i>,<i>C</i>,<i>A</i>, равны между собой.

Дан выпуклый пятиугольник<i>ABCDE</i>. Сторонами, противоположными вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, мы называем соответственно отрезки<i>CD</i>,<i>DE</i>,<i>EA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>. Докажите, что если произвольную точку<i>M</i>, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.

Докажите, что каково бы ни было целое число <i>n</i>, среди чисел <i>n,  n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  <i>n</i> + 3,  <i>n</i> + 4  есть хотя бы одно число взаимно простое с остальными четырьмя из этих чисел.

Какой остаток даёт  <i>x + x</i>³ + <i>x</i>⁹ + <i>x</i>²⁷ + <i>x</i>⁸¹ + <i>x</i>²⁴³  при делении на  <i>x</i> – 1?

Определить коэффициенты, которые будут стоять при <i>x</i>¹⁷ и <i>x</i>¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении <div align="CENTER">(1 + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁷)²⁰. </div>