Олимпиадные задачи из источника «2002 год»
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub>, O<sub>C</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> соответственно; <i>T<sub>A</sub>, T<sub>B</sub>, T<sub>C</sub></i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> являются серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE, AF</i> и <i>EF</i> делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника <i>ABD</i>?
Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную около него окружность в точках<i> E </i>и<i> D </i>соответственно. Отрезок<i> DE </i>пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> F </i>и<i> G </i>. Пусть<i> I </i>– точка пересечения биссектрис треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> BFIG </i>– ромб.
В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AD </i>и<i> BE </i>пересекаются в точке<i> M </i>. Докажите, что если угол<i> AMB </i>а) прямой; б) острый, то<i> AC+BC ></i>3<i>AB </i>.
Дана окружность с диаметром <i>AB</i>. Другая окружность с центром в точке <i>A</i> пересекает отрезок <i>AB</i> в точке <i>C</i>, причём <i>AC</i> < ½ <i>AB</i>. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке <i>D</i>. Докажите, что прямая <i>CD</i> перпендикулярна <i>AB</i>.
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
Докажите, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превышает <sup>1</sup>/<sub>100</sub>.
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся. На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре <i>k</i>-е место по числу голосов. Определ...
Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?
Про положительные числа <i>a, b, c</i> известно, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>c</sub> ≥ a + b + c</i>. Докажите, что <i>a + b + c</i> ≥ 3<i>abc</i>.
Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
В ряд расположили <i>n</i> лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких <i>n</i> можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?
Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению <i>x</i><sup>4</sup> – 2<i>y</i>² = 1.
Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
В клетчатом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.
Укажите все пары (<i>m, n</i>), для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Квадрат суммы цифр числа <i>A</i> равен сумме цифр числа <i>A</i><sup>2</sup>. Найдите все такие двузначные числа <i>A</i>.
На острове ⅔ всех мужчин женаты и ⅗ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?