Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Лопатникова А. А.: четырёхугольник и перпендикуляры

Решение 1:   Обозначим основание перпендикуляр, опущенного из точки A на BC, через S, а основание перпендикуляра, опущенного из точки C на AD, – через P (см. рис.).

  Заметим, что точкиSиPлежат на окружности с диаметромAC, точкиSиM– на окружности с диаметромAB, а точкиMиP– на окружности с диаметромCD. ПрямаяASявляетсярадикальной осьюокружностейASBMиASCP, а прямаяPC–радикальной осьюокружностейMCDPиASCP. Поэтому точкаHпересечения этих прямых –радикальный центртрёх указанных окружностей. Следовательно,HM– радикальная ось окружностейASBMиMCDPи, значит, перпендикулярна их линии центровKL.

Решение 2:   Введём обозначения:     (см. рис.). Заметим, что     (см. решение задачи 135546).   Кроме того,     Осталось проверить, что  (a + b)(c + d) = 0.

  Прямая BD, очевидно, серединный перпендикуляр к отрезку AC. Следовательно, точка M лежит на прямой BD. Поэтому векторы     и     перпендикулярны. Таким образом,  (a – b)(d – c) = 0.

  Кроме того, по условию  ac = bd = 0.  Следовательно,  (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd = – ac + ad + bc – bd = (a – b)(d – c) = 0.

Ответ задачи отсутствует