Олимпиадные задачи из источника «1935 год»

Доказать формулы

  а)  [<i>a, b</i>](<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

  б)  [<i>a, b, c</i>](<i>a, b</i>)(<i>b, c</i>)(<i>c, a</i>) = (<i>a, b, c</i>)<i>abc</i>.

Сколькими различными способами можно разложить натуральное число <i>n</i> на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.

  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Найти сумму<div align="CENTER"> 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2<i>n</i> - 1)³. </div>

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,

   <i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.

Сколько действительных решений имеет система двух уравнений с тремя неизвестными:

   <i>x + y</i> = 2,

   <i>xy – z</i>² = 1 ?

В двух различных плоскостях лежат два треугольника:<i>ABC</i>и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Прямая<i>AB</i>пересекается с прямой<i>A</i>₁<i>B</i>₁, прямая<i>BC</i>— с прямой<i>B</i>₁<i>C</i>₁, прямая<i>CA</i>— с прямой<i>C</i>₁<i>A</i>₁. Доказать, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁или все три пересекаются в одной точке, или...

На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.

Дана окружность и на ней 3 точки<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в120^<tt>o</tt>; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью15^<tt>o</tt>. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

В треугольнике <i>ABC</i> из произвольной точки <i>D</i> на стороне <i>AB</i> проведены две прямые, параллельные сторонам <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекающие <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно в точках <i>F</i> и <i>G</i>. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников <i>ADG</i> и <i>BDF</i> равна длине описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Решить систему уравнений:

  <i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,

  <i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),

  <i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².

Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен${\frac{1}{3}}$одной из высот.

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой<i>a</i>, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Поезд проходит мимо наблюдателя в течение <i>t</i>₁ секунд, при той же скорости он проходит через мост длиной в <i>a</i> метров в течение <i>t</i>₂ секунд.

Найти длину и скорость поезда.

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом$\varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом$\alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла$\alpha$.

Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.