Олимпиадные задачи из источника «1969 год»

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

Одна под другой выписаны 2^<i>n</i>–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины <i>n</i>. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер <i>p</i>, что в <i>p</i>-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

С числом123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры<i>a</i>и<i>b</i>(<i>a</i>стоит перед<i>b</i>) и на их место вставляется число<i>a</i>+ 2<i>b</i>(можно в качестве<i>a</i>взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве<i>b</i>— первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно<b>на первом</b>шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

Даны два натуральных числа <i>m</i> и <i>n</i>. Выписываются все различные делители числа <i>m</i> – числа <i>a, b, ..., k</i> – и все различные делители числа <i>n</i> – числа <i>s, t, ..., z</i>. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  <i>a + b + ... + k = s + t + ... + z</i>  и  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ... + ¹/_<i>k</i> = ¹/_<i>s</i> + ¹/_<i>t</i> + ... + ¹/<sub>&l...

Существует ли такое число <i>h</i>, что ни для какого натурального числа <i>n</i> число  [<i>h</i>·1969^<i>n</i>] не делится на [<i>h</i>·1969^<i>n</i>–1]?

Колода перфокарт четырёх цветов разложена в один ряд. Если две перфокарты одного цвета лежат рядом или через одну, то можно выбрасывать ту из них, которая левее. Кроме того, можно подкладывать справа любое количество перфокарт из других колод. Доказать, что можно подкладывать и выбрасывать перфокарты таким образом, чтобы в конце концов их осталось только четыре.

Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, ... Она периодична с периодом 100, то есть  <i>a</i>₁ = <i>a</i>₁₀₁,  <i>a</i>₂ = <i>a</i>₁₀₂,  ... Известно, что  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ ≤ 0,  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ ≥ 0  и вообще, сумма  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ....

В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)

Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?

Остров<i>Толпыго</i>имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Можно ли записать в строку 20 чисел так, чтобы сумма любых <i>трёх</i> последовательных чисел была положительна, а сумма <i>всех</i> 20 чисел была отрицательна?

Белая ладья преследует чёрного коня на доске3×1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять коня? Первый ход делают белые.

Имеется 57 деревянных правильных 57-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем веревкой. Натянутая веревка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 56 вершин.

Имеется 1000 деревянных правильных 100-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем верёвкой. Натянутая верёвка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 99 вершин.

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: <i>A, E, F, B, K, L, C, M, N</i>. Со временем все стены и башни, кроме башен <i>E, K, M</i>, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни <i>A, B, C</i>, если известно, что башни <i>A, B, C</i> стояли в вершинах?

Белая ладья преследует чёрного слона на доске3×1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять слона? Первый ход делают белые.

Дан треугольник <i>ABC</i>, который можно накрыть одним пятаком. Постройте с помощью пятака четвёртую вершину параллелограмма <i>ABCD</i> (пятак разрешается прикладывать к любым двум точкам и обводить карандашом).

Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите на плоскости множество таких точек <i>C</i>, что медиана треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>, равна высоте, проведённой из вершины <i>B</i>.