Олимпиадные задачи из источника «1952 год»
Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен 3<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>n</i></sup> + 2 не делится на многочлен 2<i>x</i><sup>2<i>m</i></sup> + <i>Ax</i><sup><i>m</i></sup> + 3.
Докажите, что сумма<div align="CENTER"> cos 32<i>x</i> + <i>a</i><sub>31</sub>cos 31<i>x</i> + <i>a</i><sub>30</sub>cos 30<i>x</i> + ... + <i>a</i><sub>1</sub>cos <i>x</i> </div>принимает как положительные, так и отрицательные значения.
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>ABC</i> = 20°. На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что ∠<i>PAC</i> = 50° и ∠<i>QCA</i> = 60°.
Докажите, что ∠<i>PQC</i> = 30°.
Поместить в полый куб с ребром<i>a</i>три цилиндра диаметра${\frac{a}{2}}$и высоты<i>a</i>так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.
Решить систему уравнений: <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> = ... = <i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x<sub>n</sub> = x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 1.
99 прямых разбивают плоскость на<i>n</i>частей. Найдите все возможные значения<i>n</i>, меньшие 199.
Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.
Из точки <i>C</i> проведены касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности <i>O</i>. Из произвольной точки <i>N</i> окружности опущены перпендикуляры <i>ND, NE, NF</i> соответственно на прямые <i>A, CA</i> и <i>CB</i>. Докажите, что <i>ND</i> есть среднее геометрическое чисел <i>NE</i> и <i>NF</i>.
Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/77957/problem_77957_img_2.gif"> (60 девяток).
Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> остроугольных треугольников <i>ABC</i>.
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
Для выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>соблюдено условие:<i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>DA</i>. Докажите, что окружность, вписанная в$\Delta$<i>ABC</i>, касается окружности, вписанной в$\Delta$<i>ACD</i>.
Решить систему пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными: <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> = ... = <i>x</i><sub>14</sub><i>x</i><sub>15</sub> = <i>x</i><sub>15</sub><i>x</i><sub>1</sub> = 1.
Если при любом положительном <i>p</i> все корни уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c + p</i> = 0 действительны и положительны, то коэффициент <i>a</i> равен нулю. Докажите.
В трёхгранный угол с вершиной <i>S</i> вписана сфера с центром в точке <i>O</i>.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой <i>SO</i>.
Докажите, что 2<sup><i>n</i></sup> > (1 – <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> + (1 + <i>x</i>)<sup><i>n</i></sup> при целом <i>n</i> ≥ 2 и |<i>x</i>| < 1.
Найдите соотношение между <div align="CENTER"> arcsin cos arcsin <i>x</i> и arccos sin arccos <i>x</i>. </div>
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:<i>a</i><sub>1</sub>— произвольное трёхзначное число,<i>a</i><sub>2</sub>— сумма квадратов его цифр,<i>a</i><sub>3</sub>— сумма квадратов цифр числа<i>a</i><sub>2</sub>и т.д. Докажите, что в последовательности<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.
$\Delta$<i>ABC</i>разбит прямой<i>BD</i>на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в$\Delta$<i>ABD</i>и$\Delta$<i>DBC</i>, больше радиуса окружности, вписанной в$\Delta$<i>ABC</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.
Два человека <i>A</i> и <i>B</i> должны попасть как можно скорее из пункта <i>M</i> в пункт <i>N</i>, расположенный в 15 км от <i>M</i>. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. <i>A</i> отправляется в путь пешком, а <i>B</i> едет на велосипеде до встречи с пешеходом <i>C</i>, идущим из <i>N</i> и <i>M</i>. Дальше <i>B</i> идёт пешком, а <i>C</i> едет на велосипеде до встречи с <i>A</i> и передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в <i>N</i>. Когда должен выйти из <i>N</i> пешеход <i>C</i>, чт...
Докажите тождество <div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="95%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td width="5%"> </td> <td nowrap align="LEFT">(<i>ax</i> + <i>by</i> + <i>cz</i> + <i>du</i>)<sup>2</sup> + (<i>bx</i> + <i>cy</i> + <i>dz</i> + <i>au</i>)<sup>2</sup> + (<i>cx</i> + <i>dy</i> + <i>az</i> + <i>bu</i>)<sup>2</sup> +</td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td> </td> <td nowrap align="LEFT">+ (<i>dx</i> + <i>ay</i>...