Олимпиадные задачи из источника «1948 год»
Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной точки и образующих попарно тупые углы?
Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство |<i>x| + |y</i>| < 100?
Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.
Найти все рациональные положительные решения уравнения <i>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup></i> (<i>x ≠ y</i>).
Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство:<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>(<i>R</i>и<i>r</i>— радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство<i>R</i>= 2<i>r</i>имеет место только для правильного треугольника.
Решите в натуральных числах уравнение <i>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup></i> при <i>x ≠ y</i>.
Даны две треугольные пирамиды<i>ABCD</i>и<i>A'BCD</i>с общим основанием<i>BCD</i>, причем точка<i>A'</i>лежит внутри пирамиды<i>ABCD</i>. Доказать, что сумма плоских углов при вершине<i>A'</i>пирамиды<i>A'BCD</i>больше суммы плоских углов при вершине<i>A</i>пирамиды<i>ABCD</i>.
Доказать без помощи таблиц, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2. </div>
Если число <img width="38" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_2.gif"> – целое, то и число <img width="59" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_3.gif"> – целое. Доказать.
На плоскости проведено<i>n</i>прямых линий. Доказать, что области, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так закрасить двумя красками (каждая область закрашивается только одной краской), что никакие две соседние области (т.е. области, соприкасающиеся только по отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.
Сколько цифр имеет число 2<sup>100</sup>?
Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?