Олимпиадные задачи из источника «1971 год»
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Доказать, что сумма цифр числа<i>N</i>превосходит сумму цифр числа5<sup>5 . </sup><i>N</i>не более чем в 5 раз.
В пространстве даны точка<i>O</i>и<i>n</i>попарно непараллельных прямых. Точка<i>O</i>ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?
Даны два набора чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i>. Расположим числа <i>a<sub>k</sub></i> в возрастающем порядке, а числа <i>b<sub>k</sub></i> – в убывающем порядке. Получатся наборы
<i>A</i><sub>1</sub> ≤ ... ≤ <i>A<sub>n</sub></i>, <i>B</i><sub>1</sub> ≥ ... ≥ <i>B<sub>n</sub></i>. Доказать, что max{<i>a</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>} ≥ max{<...
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?
а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.
б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c<sub>k</sub></i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c<sub>k</sub></i> для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c<sub>k</sub></i>.
Дано 29-значное число <i>X</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub>...<i>a</i><sub>29</sub></span> (0 ≤ <i>a<sub>k</sub></i> ≤ 9, <i>a</i><sub>1</sub> ≠ 0). Известно, что для всякого <i>k</i> цифра <i>a<sub>k</sub></i> встречается в записи данного числа <i>a</i><sub>30–<i>k</i></sub> раз (например, если <i>a</i><sub>10</sub> = 7, то цифра <i>a</i><sub>20</sub> встречается семь раз). Найти сумму цифр числа <i>X</i>.
Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.
В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Существует ли число, квадрат которого начинается с цифр 123456789 и кончается цифрами 987654321?
Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве <i>p<sup>n</sup></i>, где <i>p</i> – простое число, <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?
<i>n</i>точек расположены в вершинах выпуклого<i>n</i>-угольника. Внутри этого<i>n</i>-угольника отметили<i>k</i>точек. Оказалось, что любые три из<i>n</i>+<i>k</i>точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число<i>k</i>?
Про последовательность<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>, ...,<i>x</i><sub>n</sub>, ... известно, что для любого<i>n</i>> 1 выполнено равенство3<i>x</i><sub>n</sub>-<i>x</i><sub>n - 1</sub>=<i>n</i>. Кроме того, известно, что|<i>x</i><sub>1</sub>| < 1971. Вычислить<i>x</i><sub>1971</sub>с точностью до 0, 000001.
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub>, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3<i>n</i>отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>1</sub>, равны между собой. То же самое верно и для вершин<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>, ...,<i>A</i><sub>n - 1</sub>. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>n</sub>, также равны между собой.
Доказать, что среди чисел [2<sup>k</sup>·<img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78778/problem_78778_img_2.gif">] бесконечно много составных.
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...