Олимпиадные задачи из источника «1992 год»

Диагональ <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i> равна боковой стороне <i>CD</i>. Прямая, симметричная <i>BD</i> относительно <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>E</i>.

Докажите, что прямая <i>AB</i> делит отрезок <i>DE</i> пополам.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.

Прибор для сравнения чисел  log<i>_ab</i>  и  log<i>_cd</i>  (<i>a, b, c, d</i> > 1)  работает по правилам: если  <i>b > a</i>  и  <i>d > c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_a^b</i>/_<i>a</i>  и  log<i>_c^d</i>/_<i>c</i>  если  <i>b < a</i>  и  <i>d < c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_dc</i>  и  log<i>_ba</i>;  если  (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0,  т...

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади<i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃,<i>P</i>₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре<i>P</i>₁≤<i>P</i>₂+<i>P</i>₃+<i>P</i>₄; б) если<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄— площади соответствующих граней тетраэдра, то<i>P</i>₁<i>S</i><sub&gt...

Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.

Найдите углы выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>, в котором$\angle$<i>BAC</i>= 30^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ACD</i>= 40^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ADB</i>= 50^<tt>o</tt>,$\angle$<i>CBD</i>= 60^<tt>o</tt>и$\angle$<i>ABC</i> + $\angle$<i>ADC</i> = 180^<tt>o</tt>.

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из <i>n</i>×<i>n</i> клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из  4<i>n</i> – 2  диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при

  а)  <i>n</i> = 55?

  б)  <i>n</i> = 1992?

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.

Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?

От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.

Можно ли <i>n</i> раз рассадить  2<i>n</i> + 1  человека за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если  а)  <i>n</i> = 5;  б)  <i>n</i> = 10?

В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?

В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?

Каких нечётных натуральных чисел  <i>n</i> < 10000  больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа <i>n</i>⁹, больше <i>n</i>, или тех, для которых оно меньше <i>n</i>?

Каждый участник шахматных соревнований выиграл белыми столько же партий, сколько все остальные вместе взятые – чёрными.

Докажите, что все участники выиграли поровну партий.

Можно ли четыре раза рассадить девять человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза?

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.

Докажите, что все участники решили поровну задач.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Докажите, что если  <i>a + b + c + d</i> > 0,  <i>a > c</i>,  <i>b > d</i>,  то  |<i>a + b</i>| > |<i>c + d</i>|.