Олимпиадные задачи из источника «1988 год»

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2^x?

Калькулятор выполняет пять операций: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня. Найдите формулу, по которой на этом калькуляторе можно определить наименьшее из двух произвольных чисел<i>a</i>и<i>b</i>.

Пусть <i>x</i> и <i>y</i> – натуральные числа. Рассмотрим функцию  <i>f</i>(<i>x, y</i>) = ½ (<i>x + y</i> – 1)(<i>x + y</i> – 2) + <i>y</i>.  Докажите, что множеством значений этой функции являются все натуральные числа, причём для любого натурального  <i>i = f</i>(<i>x, y</i>)  числа <i>x</i> и <i>y</i> определяются однозначно.

На плоскости даны две перпендикулярные прямые. С помощью кронциркуля укажите на плоскости три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника. Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах у него две иголки. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.

Докажите, что при простых  <i>p_i</i> ≥ 5,  <i>i</i> = 1, 2, ..., 24,  число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79534/problem_79534_img_2.gif">  делится нацело на 24.

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.

Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.

Имеется линейка без делений и специальный инструмент, позволяющий замерять расстояние между произвольными точками и откладывать это расстояние на любой уже проведённой прямой от произвольной точки этой прямой. Как с помощью этих инструментов и карандаша разделить пополам данный отрезок?

Над строкой из четырёх чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и т.д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.

20 телефонов соединены проводами так, что каждый провод соединяет два телефона, каждая пара телефонов соединена не более чем одним проводом и от каждого телефона отходит не более двух проводов. Нужно закрасить провода (каждый провод целиком одной краской) так, чтобы от каждого телефона отходили провода разных цветов. Какого наименьшего числа красок достаточно для такой закраски?

С помощью кронциркуля и линейки проведите через данную точку прямую, параллельную данной. Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах у него две иголки. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.

Докажите, что при простых  <i>p</i> > 7  число  <i>p</i>⁴ − 1  делится на 240.