Олимпиадные задачи из источника «1963 год»
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в300<sup><tt>o</tt></sup>каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов. <i>Примечание</i>: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.
Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел <i>x, y, z, t</i>, для которых было бы справедливо соотношение <i>x<sup>x</sup> + y<sup>y</sup> = z<sup>z</sup> + t<sup>t</sup></i>.
Последовательность чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>... образуется следующим образом:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1; <i>a</i><sub>n</sub> = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (<i>n</i>$\displaystyle \ge$3). </div>Доказать, что все числа в последовательности — целые.
<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>,<i>E'</i>— середины сторон выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>. Доказать, что площади пятиугольников<i>ABCDE</i>и<i>A'B'C'D'E'</i>связаны соотношением:<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>A'B'C'D'E'</sub>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$<i>S</i><sub>ABCDE</sub>. </div>
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?
На листе бумаги нанесена сетка из<i>n</i>горизонтальных и<i>n</i>вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2<i>n</i>-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?
Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение <i>x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup></i> не может иметь решений в целых числах, для которых <i>x + y</i> – простое число.
В таблицу 9×9 вписаны все целые числа от 1 до 81. Доказать, что найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 6.
В правильном десятиугольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?
Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая 14-звенная ломаная, проходящая по линиям клетчатой бумаги так, что ни на какой линии не лежит более одного звена ломаной?
Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>X</i>вне его.<i>AM</i>,<i>BN</i>,<i>CQ</i>— медианы треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что площадь одного из треугольников<i>XAM</i>,<i>XBN</i>,<i>XCQ</i>равна сумме площадей двух других.
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора1, 2,..., 1963, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?
Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>— произвольные натуральные числа. Обозначим через<i>b<sub>k</sub></i>количество чисел из набора<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>n</sub></i>, удовлетворяющих условию: <i>a<sub>i</sub></i>≥<i>k</i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>n</sub></i>=<i>b</i><sub>1</sub>+<i>b</i><sub>2</sub>+ ...
Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?
Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>и такая прямая<i>l</i>, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки<i>A</i>равно сумме расстояний до этой прямой от точек<i>B</i>и<i>C</i>(причем<i>B</i>и<i>C</i>лежат по одну сторону от<i>l</i>). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.
Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)
Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке <i>A</i> и с концами на прямой <i>l</i>, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.