Олимпиадные задачи из источника «1973 год»
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.
У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.
Дано число <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_2.gif"><img width="66" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_3.gif"><img width="28" height="46" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_4.gif">, где <i>n</i> и <i>m</i> – натуральные числа, не меньшие 2.
Доказать, что существует такое натуральное <i>k</i>, что <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" b...
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
Дано число <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_2.gif"><img width="77" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_3.gif"><img width="23" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_4.gif">, где <i>M</i> – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное <i>k</i>, что <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" border="0" src=&quo...
На бесконечной шахматной доске проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось <i>k</i> чёрных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?
Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются<i>похожими</i>, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?
Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно: а) 0,5; б) 0,49; в) 0,34; г) ⅓. Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?
Лист клетчатой бумаги размером<i>N</i>×<i>N</i>раскрасили в<i>N</i>цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих<i>N</i>цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено а)<i>N</i><sup>2</sup>- 1 клетка? б)<i>N</i><sup>2</sup>- 2 клетки? в)<i>N</i>клеток?
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость полицейского вдвое меньше максимальной скорости гангстера. Доказать, что полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером.
Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами при некоторых целых <i>x</i> принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого <i>x</i>, при котором значение этого многочлена равно 5.
С натуральным числом <i>K</i> производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей <i>K</i> = <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i>; затем вычисляется сумма <i>p</i><sub>1</sub> + <i>p</i><sub>2</sub> + ... + <i>p<sub>n</sub></i> + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?
В городе <i>N</i> с каждой станции метро на любую другую можно проехать. Доказать, что одну из станций можно закрыть на ремонт без права проезда через неё так, чтобы с любой из оставшихся станций можно было по-прежнему проехать на любую другую.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Рассматриваются решения уравнения <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> (<i>p</i> > 1), где <i>x, y</i> и <i>p</i> – натуральные числа. Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если <i>p</i> – составное, то решений больше трёх ((<i>a, b</i>) и (<i>b, a</i>) – различные решения, если <i>a ≠ b</i>).
Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.
Может ли число, состоящее из шестисот шестёрок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.