Олимпиадные задачи из источника «1939 год»

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Дана правильная пирамида. Из произвольной точки<i>P</i>её основания восставлен перпендикуляр к плоскости основания. Доказать, что сумма отрезков от точки<i>P</i>до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней пирамиды не зависит от выбора точки<i>P</i>на основании.

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10^10² + 10^10³ + ... + 10^10¹⁰.

Даны две точки<i>A</i>и<i>B</i>и окружность. Найти на окружности точку<i>X</i>так, чтобы прямые<i>AX</i>и<i>BX</i>отсекли на окружности хорду<i>CD</i>, параллельную данной прямой<i>MN</i>.

Даны два многочлена от переменной <i>x</i> с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной <i>x</i> с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

Разложить на целые рациональные множители выражение  <i>a</i>¹⁰ + <i>a</i>⁵ + 1.

Решить уравнение  <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.

Даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Через точку<i>A</i>провести прямую так, чтобы сумма расстояний от точек<i>B</i>и<i>C</i>до этой прямой была равна заданному отрезку.

Доказать, что  cos ^2π/₅ + cos ^4π/₅ = – ½.

Решить систему уравнений:

   3<i>xyz – x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³ = <i>b</i>³,

   <i>x + y + z</i> = 2<i>b</i>,

   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>b</i>².

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.