Олимпиадные задачи из источника «2017 год»

При каких натуральных <i>n</i> для каждого целого  <i>k ≥ n</i>  найдётся кратное <i>n</i> число с суммой цифр <i>k</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> c углом <i>A</i>, равным 45°, проведена медиана <i>AM</i>. Прямая <i>b</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>BB</i>₁, а прямая <i>c</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>CC</i>₁. Прямые <i>b</i> и <i>c</i> пересеклись в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>AX = BC</i>.

Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?

Кузнечик умеет прыгать по полоске из <i>n</i> клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число <i>n пропрыгиваемым</i>, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно  <i>n</i> > 50,  которое не является пропрыгиваемым.

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> все стороны равны, а также  <i>AD = BE = CF</i>.  Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке

  а) слева;  б) в центре;  в) справа? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66110/problem_66110_img_2.gif"></div>(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)

В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.

Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число <i>p</i>, а оставшееся число на <i>p</i> не делится. Найдите все возможные значения <i>p</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что  <i>BD = CD</i>,  ∠<i>BDC</i> = 120°.  Вне треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  <i>AE = CE</i>,  ∠<i>AEC</i> = 60°  и точки <i>B</i> и <i>E</i> находятся в разных полуплоскостях относительно <i>AC</i>. Докажите, что  ∠<i>AFD</i> = 90°,  где <i>F</i> – середина отрезка <i>BE</i>.

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?

Даны две непостоянные прогрессии (<i>a_n</i>) и (<i>b_n</i>), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  <i>a</i>₁ = <i>b</i>₁,  <i>a</i>₂ : <i>b</i>₂ = 2  и

<i>a</i>₄ : <i>b</i>₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  <i>a</i>₃ : <i>b</i>₃?

На гранях единичного куба отметили восемь точек, которые служат вершинами меньшего куба.

Найдите все значения, которые может принимать длина ребра этого куба.

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной <i>d</i> метров. При каком наименьшем <i>d</i> фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?

Пусть <i>a</i> – положительный корень уравнения  <i>x</i>²⁰¹⁷ – <i>x</i> – 1 = 0,  а <i>b</i> – положительный корень уравнения  <i>y</i>⁴⁰³⁴ – <i>y</i> = 3<i>a</i>.

  а) Сравните <i>a</i> и <i>b</i>.

  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |<i>a – b</i>|.

На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.

В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём каждые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?

У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?

Точка <i>O</i> – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>AOC</i> вторично пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Оказалось, что прямая <i>EF</i> делит площадь треугольника <i>ABC</i> пополам. Найдите угол <i>B</i>.

Все натуральные числа, бóльшие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма каждых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произведение каждых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017?

Квадратный трёхчлен  <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.

Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>a</i> и <i>k</i>, что для всякого натурального <i>n</i>, взаимно простого c <i>a</i>, число  <i>a</i>^{<i>kⁿ</i>+1} – 1  делится на <i>n</i>.

Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.

  Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в  37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8  и будет округлена до 15.)

  Студенты Петя и Вася получили оценки <i>a</i> и <i>b</i>, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка <i>b</i>, а у Васи – оценка <i>a</i>...