Олимпиадные задачи из источника «2014 год»

Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ состоит из восьми треугольных граней <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i><sub>2</sub&g...

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается <i>n</i> единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из <i>n</i> единиц и двоек.

Найдите все такие <i>a</i> и <i>b</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64729/problem_64729_img_2.gif">  и при всех <i>x</i> выполнено неравенство  |<i>a</i> sin <i>x</i> + <i>b</i> sin 2<i>x</i>| ≤ 1.

Существует ли такой квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  с целыми коэффициентами и <i>a</i>, не кратным 2014, что все числа  <i>f</i>(1),  <i>f</i>(2), ...,  <i>f</i>(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

В королевстве некоторые пары городов соединены железной дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, второй город оказался названным именем первого города, а король не заметил бы изменений?

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> с центром <i>O</i> отмечены такие точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, что  ∠<i>AOP</i> = ∠<i>COQ</i> = ∠<i>ABC</i>.

  а) Докажите, что  ∠<i>ABP</i> = ∠<i>CBQ</i>.

  б) Докажите, что прямые <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Обозначим через <i>M</i> середину стороны <i>AC</i>, а через <i>P</i> – середину отрезка <i>CM</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABP</i> пересекает сторону <i>BC</i> во внутренней точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>ABM</i> = ∠<i>MQP</i>.

Найдите все значения <i>a</i>, для которых найдутся такие <i>x, y</i> и <i>z</i>, что числа cos <i>x</i>, cos <i>y</i> и cos <i>z</i> попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа  cos(<i>x + a</i>),  cos(<i>y + a</i>)  и  cos(<i>z + a</i>)  также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> принимает в точках ¹/_<i>a</i> и <i>c</i> значения разных знаков.

Докажите, что корни трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает <i>вдоль окружности</i> через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₉...

<i>Радикалом</i> натурального числа <i>N</i> (обозначается rad(<i>N</i>)) называется произведение всех простых делителей числа <i>N</i>, взятых по одному разу. Например,

rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел <i>A, B, C</i>, что  <i>A + B = C</i>  и  <i>C</i> > 1000 rad(<i>ABC</i>)?

Дано <i>n</i> палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение <i>n</i>?

В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное <i>k</i>, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять <i>k</i> белых и <i>k</i> фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_<i>n</i>, где <i>n</i> – натуральное число.

На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64712/problem_64712_img_2.gif"></div>Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда от них отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?

В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?

В прямоугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>CD</i>. Через точку <i>C</i> провели прямую, перпендикулярную прямой <i>BM</i>, а через точку <i>M</i> – прямую, перпендикулярную диагонали <i>BD</i>. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой <i>AD</i>.

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.

Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Будем называть <i>змейкой</i> ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64708/problem_64708_img_2.gif"></div>

Витя хочет найти такое выражение, состоящее из единиц, скобок, знаков "+" и "×" что

  - его значение равно 10;

  - если в этом выражении заменить все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", всё равно получится 10.

Приведите пример такого выражения.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям:  <i>P</i>(0) = 1,  (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i>¹⁰⁰<i>Q</i>(<i>x</i>),  где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.

Докажите, что коэффициент при <i>x</i>⁹⁹ в многочлене  (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.