Олимпиадные задачи из источника «1986 год»
Найдите минимум по всем α, β максимума функции<div align="CENTER"> <i>y</i>(<i>x</i>) = |cos <i>x</i> + α cos 2<i>x</i> + β cos 3<i>x</i>|. </div>
Докажите, что ни для каких векторов<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>не могут одновременно выполняться три неравенства<div align="CENTER"> <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>a</i>| < |<i>b</i> − <i>c</i>|, <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>b</i>| < |<i>c</i> − <i>a</i>|, <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>c</i>| < |<i>a</i> − <i>b</i>|. </div>...
Решите уравнение<i>x</i><sup>x<sup>4</sup></sup>= 4 (<i>x</i>> 0).
Биссектриса угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>продолжена до пересечения в<i>D</i>с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что<i>AD</i> > 1/2 (<i>AB</i> + <i>AC</i>).
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>квадратом?
На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.
Решите систему неравенств
|<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.
Из точки<i>M</i>по плоскости с постоянной скоростью ползёт муравей. Его путь представляет собой спираль, которая наматывается на точку<i>O</i>и гомотетична некоторой своей части относительно этой точки. Сможет ли муравей пройти весь свой путь за конечное время?
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>прямоугольником?
Докажите, что система неравенств
|<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|
не имеет решений.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Докажите, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_2.gif"> при <i>n</i> = 2, ..., 10, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_3.gif">
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.
На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник квадратом.
Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?
Докажите, что ни для каких чисел <i>x, y, t</i> не могут одновременно выполняться три неравенства: |<i>x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y</i>|.
На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.