Олимпиадные задачи из источника «1936 год»

В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (<i>В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.</i>)

Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.

На плоскости дан угол, образованный двумя лучами <i>a</i> и <i>b</i>, и некоторая точка <i>M</i>.

Провести через точку <i>M</i> прямую <i>c</i> так, чтобы треугольник, образованный прямыми <i>a, b</i> и <i>c</i>, имел периметр данной величины.

Решить систему уравнений:

   <i>x + y = a,

   x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ = <i>b</i>⁵.

Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей,

  а) считаются различными?

  б) считаются тождественными?