Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Съев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. Зато в другой раз он съел на пустой желудок семь поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего пострадает Волк, если съест на пустой желудок 11 козлят?

Известно, что<i>a</i>+${\frac{b^2}{a}}$=<i>b</i>+${\frac{a^2}{b}}$. Верно ли, что<i>a</i>=<i>b</i>?

Докажите, что<div align="CENTER"> | <i>x</i>| + | <i>y</i>| + | <i>z</i>|$\displaystyle \le$| <i>x</i> + <i>y</i> - <i>z</i>| + | <i>x</i> - <i>y</i> + <i>z</i>| + |-<i>x</i> + <i>y</i> + <i>z</i>|, </div>где<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i> — действительные числа.

Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного – ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)

Два различных числа <i>x</i> и <i>y</i> (не обязательно целых) таковы, что  <i>x</i>² – 2000<i>x = y</i>² – 2000<i>y</i>.  Найдите сумму чисел <i>x</i> и <i>y</i>.

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.

Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник<i>ABC</i>прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на<i>AB</i>).

Внутри данного треугольника<i>ABC</i>найти такую точку<i>O</i>, чтобы площади треугольников<i>AOB</i>,<i>BOC</i>,<i>COA</i>относились как 1 : 2 : 3.

Даны окружность<i>O</i>, прямая<i>a</i>, пересекающая её, и точка<i>M</i>. Через точку<i>M</i>провести секущую<i>b</i>так, чтобы её часть, заключённая внутри окружности<i>O</i>, делилась пополам в точке её пересечения с прямой<i>a</i>.

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Доказать, что число, состоящее из 300 единиц и некоторого количества нулей, не является точным квадратом.

Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?

Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i>₁напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i>₁напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i>₁проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i>₂, напишем его под числом<i>a</i>₁. Справа от числа<i>a</i>₂напишем число 4<i>b&l...

Доказать, что если целое  <i>n</i> > 1,  то  1¹·2²·3³·...·<i>nⁿ < n</i>^{<i>n</i>(<i>n</i>+1)/2}.

Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.

Докажите, что не существует на плоскости четырех точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>таких, что все треугольники<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>остроугольные.

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.