Олимпиадная задача по модулю числа и планиметрии для 7-9 классов: доказательство неравенства
Задача
Докажите, что
| x| + | y| + | z|$\displaystyle \le$| x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,
гдеx,y,z — действительные числа.
Решение
Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей (см. комментарий), имеем:
| x + y - z| + | x - y + z|$\displaystyle \ge$|(x + y - z) + (x - y + z)| = 2| x|.
Аналогично получаются неравенства
| x - y + z| + | - x + y + z| $\displaystyle \ge$2| z|,
Сложив все три неравенства и разделив получившееся неравенство на 2,
получим требуемое неравенство.
Комментарий.
Неравенство
| x + y|$\le$| x| + | y| можно доказать разбором случаев.
Приведем элегантное доказательство. Так как обе части неравенства
неотрицательны, их можно возвести в квадрат, и неравенство заменится на
равносильное. То есть достаточно доказать, что
| - x + y + z| + | x + y - z| $\displaystyle \ge$2| y|.
| x + y|2$\displaystyle \le$(| x| + | y|)2.
Пользуясь тем, что для любого a выполняется равенство
| a|2 = a2 и раскрывая скобки, приходим к неравенству:
x2 + 2xy + y2$\displaystyle \le$x2 + 2| x| | y| + y2.
Но это очевидно.
Заметим, также, что неравенство верно и для векторов.
Доказательство сохраняется с небольшими изменениями. На плоскости
это неравенство равносильно неравенству треугольника.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет