Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» - сложность 4-5 с решениями
Московская математическая олимпиада
НазадОбозначим через <i>S</i>(<i>n</i>, <i>k</i>) количество не делящихся на <i>k</i> коэффициентов разложения многочлена (<i>x</i> + 1)<i><sup>n</sup></i> по степеням <i>x</i>.
а) Найдите <i>S</i>(2012, 3).
б) Докажите, что <i>S</i>(2012<sup>2011</sup>, 2011) делится на 2012.
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, ..., 2<i><sup>k</sup></i>}, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной прямой <i>l</i> обозначим через <i>l<sub>a</sub></i>, <i>l<sub>b</sub></i>, <i>l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, а через <i>I<sub>l</sub></i> – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек <i>I<sub>l</sub></i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.
В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?
Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив
а) 17 номеров;
б) менее 16 номеров?
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Через <i>A</i><sub>1</sub> обозначим середину дуги <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>A</i>, а через <i>A</i><sub>2</sub> – середину дуги <i>BAC</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i><sub>1</sub> на прямую <i>A</i><sub>2</sub><i>I</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.
а) Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i>...
По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.
При какой перестановке <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2011</sub> чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116235/problem_116235_img_2.png"></div>будет наибольшим?
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении <i>a</i> : (1 – <i>a</i>) по весу, где 0 < <i>a</i> < 1. Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала (0, 1) найдётся значение <i>a</i>, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?
Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 4 гения. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять по крайней мере 3 гениев, как бы ни действовала первая фирма?
Команда из <i>n</i> школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из <i>k</i> заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
а) при <i>n = k = </i>2;
б) при произвольных фиксированных <i>n</i> и <i>k</i>?
Функция <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>) не превосходит хотя бы одного из чисел <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
На плоскости отметили 4<i>n</i> точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых <i>n</i> + 1 точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7<i>n</i> отрезков.
В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115497/problem_115497_img_2.gif"> </div>
Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.
Для каждого простого <i>p</i> найдите наибольшую натуральную степень числа <i>p</i>!, на которую делится число (<i>p</i>²)!.
Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72<i><sup>o</sup> </i>?
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции <center><i>
y= sin x, x<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(0<i>;α</i>)<i>.
</i></center> Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_3.gif">;π</i>); б)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif">&...
Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>. Пусть<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA<sub>1</sub> </i>и<i> CBB<sub>1</sub> </i>. Докажите, что прямая<i> A<sub>2</sub>B<sub>2</sub> </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.
Дано целое число <i>n</i> > 1. Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по <i>n</i> точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_2.gif"> </i>, б) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_3.gif"> </i>, в) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_4.gif"> </i>?