Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов: Перпендикулярность ортоцентров

Опустим из B и A₁ высоты на AC соответственно в точки B₃ и B₄ , аналогично построим точки A₃ и A₄ (рис.). Заметим, что AB₁=BA₁=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A₃A₄=B₃B₄=(p-c) cosγ . Отрезки A₃A₄ и B₃B₄ являются проекциями отрезка A₂B₂ на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A₂B₂ с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B₁ лежит на отрезке AC , то A₄ лежит на отрезке A₃C , а значит B₂ лежит на луче HB₃ . Аналогично A₂ лежит на луче HA₃ . Значит, биссектриса угла A₃HB₃ пересекает отрезок A₂B₂ . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA₃CB₃ углы A₃ и B₃ — прямые). Таким образом, получаем, что A₂B₂ не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует