Олимпиадная задача: Касательная к графику y=sin(x) циркулем и линейкой. Планиметрия, 10-11 класс

Касательная к графику функции y= sin x , где x(0; α), проведённая в заданной его точке(x₀, sin x₀), имеет угловой коэффициент, т.е. тангенс угла наклона к оси Ox , равный cos x₀ , и для её построения при помощи циркуля и линейки достаточно построить отрезок длины1. Действительно, имея отрезки1и sin x₀ , можно построить отрезок cos x₀ (при помощи тригонометрического круга), а значит, и угол, тангенс которого равен cos x₀ . Покажем, как построить отрезок длины 1 (т.е. восстановить масштаб). а) Из точки A=(a, sin a), где a(,α), лежащей на графике функции, опустим перпендикуляр на ось Oy (рис. 11-3-sol-1). Так как sin(π-a)= sin a , то этот перпендикуляр пересечёт график функции y= sin x в точке B=(π-a, sin a). Через середину отрезка AB проведём прямую, перпендикулярную оси Ox . Она пересечёт график в точке(,1). Отрезок этой прямой от оси Ox до графика функции y= sin x имеет длину 1. б) Здесь несколько труднее построить отрезок единичной длины. Остальные построения будут такими же. Пусть a и b произвольные точки на оси Ox , удовлетворяющие условию0<b<a<α . Построим отрезок AB длины sin a+ sin b . Через точку B проведём луч l , перпендикулярный отрезку AB . Окружность с центром в точке A и радиусом2 sin пересекает луч l в точке C (рис. 11-3-sol-2). Так как sin a+ sin b=2 sin cos , то CAB= . На отрезке BC отметим точку D такую, что BD= sin . Через точку D проведём прямую, параллельную отрезку AB . Эта прямая пересечёт отрезок AC в точке E . Длина отрезка AE равна 1, так как

Ответ задачи отсутствует