Олимпиадная задача: разрезание сыра на равные части с использованием отношения a : (1 – a)

  Назовём число a подходящим, если  0 < a < 1  и для этого значения a продавец сможет добиться желаемого результата. Пусть число a подходящее, тогда число  1 – a  также является подходящим. Докажем, что подходящим будет также     Для этого достаточно показать как разрезать кусок сыра веса 1 на части в отношении  a : (1 – a),  используя разрезы в отношении  

  После первого разреза у нас появится кусок веса    Разрезав его, мы получим два куска, вес одного из которых равен a. Значит, второй кусок в сумме с куском, оставшимся от первого разреза, весит  1 – a.

  То, что часть весом  1 – a  оказалась не целой, а составленной из двух, несущественно: при необходимости дальнейшего разрезания этой составной части мы сможем разрезать в нужном отношении каждую из составляющих её частей. Поэтому в дальнейшем мы такую кучку будем рассматривать как один кусок.

  Число  a₀ = ½  является подходящим. Следовательно, подходящими являются и числа     а также числа  b_n = 1 – a_n.  Заметим, что

1,5 < ^b_n–1/_bn = 1 + a_n < 2.

  Числа    также подходящие. Поскольку  (1 + 0,001)¹⁰²⁴ > 1 + 1024·0,001 > 2,  имеем

  Кроме того,     Так как  ^b_n–1/_bn> 1,5,  найдётся такое натуральноеN, что  b_N< 0,001¹⁰²⁴  и, следовательно,  b_N,10< 0,001.   В наборе подходящих чисел  b_N,10<b_N–1,10< ... <b_0,10  первое число меньше 0,001, последнее больше 0,999 и разности между соседними числами меньше 0,001. Поэтому этот набор имеет непустое пересечение с каждым из промежутков длины 0,001 из интервала  (0, 1).

Верно.