Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» - сложность 1 с решениями

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

В вершинах шестиугольника <i>ABCDEF</i> (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в <i>A</i> — массой 1 г, в <i>B</i> — 2 г, ..., в <i>F</i> — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116208/problem_116208_img_2.gif"></div>

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Съев на пустой желудок трёх поросят и семерых козлят, Серый Волк всё ещё страдал от голода. Зато в другой раз он съел на пустой желудок семь поросят и козлёнка и страдал уже от обжорства. От чего пострадает Волк, если съест на пустой желудок 11 козлят?

КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР — трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)

Известно, что<i>a</i>+${\frac{b^2}{a}}$=<i>b</i>+${\frac{a^2}{b}}$. Верно ли, что<i>a</i>=<i>b</i>?

Докажите, что<div align="CENTER"> | <i>x</i>| + | <i>y</i>| + | <i>z</i>|$\displaystyle \le$| <i>x</i> + <i>y</i> - <i>z</i>| + | <i>x</i> - <i>y</i> + <i>z</i>| + |-<i>x</i> + <i>y</i> + <i>z</i>|, </div>где<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i> — действительные числа.

Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного – ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)

В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число участников, решивших

  хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;

  хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;

  хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;

  хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;

  хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.

Сколько школьников не решили ни одной задачи?

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

Два различных числа <i>x</i> и <i>y</i> (не обязательно целых) таковы, что  <i>x</i>² – 2000<i>x = y</i>² – 2000<i>y</i>.  Найдите сумму чисел <i>x</i> и <i>y</i>.

В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения  <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>a</i>² + <i>b</i>² + 1 = 2005.

Докажите, что если  0 < <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < ... < <i>a</i>₈ < <i>a</i>₉,  то   <img width="126" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79565/problem_79565_img_2.gif"> < 3.

Найти все значения <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие равенству   <i>xy</i> + 1 = <i>x + y</i>.

При обычной игре в домино кости выкладываются так, чтобы разность между числами на соседних костях равнялась 0.

Можно ли выложить все 28 костей в замкнутую цепь так, чтобы все эти разности равнялись ±1?

На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая <i> одним ходом</i> взяла <i>все</i> чёрные шашки, включая две первоначально стоявшие?

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Белая ладья преследует чёрного слона на доске3×1969 клеток (они ходят по очереди по обычным правилам). Как должна играть ладья, чтобы взять слона? Первый ход делают белые.

Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.

Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник<i>ABC</i>прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на<i>AB</i>).