Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Натуральные числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>ab = cd</i>.  Может ли число  <i>a + b + c + d</i>  оказаться простым?

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

В стране Далёкой провинция называется <i>крупной</i>, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие 2012. Для записи их всех были использованы только две различные цифры.

Приведите пример таких чисел.

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что  <i>BO = BP</i>. Найдите отношение <i>OM</i> : <i>PC</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> угол <i>A</i> равен 30°, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности <i>ABC, D</i> – точка пересечения отрезка <i>BI</i> с этой окружностью. Докажите, что отрезки <i>AI</i> и <i>CD</i> перпендикулярны.

В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?

Что больше:  2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹  или  2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹?

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>M</i> на диагональ <i>AC</i>, и перпендикуляр, опущенный из точки <i>N</i> на диагональ <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>PA = PD</i>.

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?

Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взята такая точка <i>P</i>, что  ∠<i>PBA</i> = ∠<i>PCD</i> = 90°.  Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>, причём  <i>BM = CM</i>.

Докажите, что  ∠<i>PAB</i> = ∠<i>PDC</i>.

Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями  <i>AD = a</i>  и  <i>BC = b</i>.  Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>,  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>,  <i>x</i>² + <i>ex + f</i>  не имеет корней.

Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

На стороне<i> AB </i>прямоугольника<i> ABCD </i>выбрана точка<i> M </i>. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой<i> CM </i>, который пересекает сторону <i> AD </i>в точке <i> E </i>. Точка<i> P </i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i> M </i>на прямую <i> CE </i>. Найдите угол <i> APB </i>.

На столе в виде треугольника выложены28монет одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна10 г. Найдите суммарную массу всех18 монет на границе треугольника.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115493/problem_115493_img_2.gif"> </i></center>

Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30%?

Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  2 : 1.

После урока на доске остался график функции  <i>y = ^k/_x</i>  и пять прямых, параллельных прямой  <i>y = kx</i>  (<i>k</i> ≠ 0).

Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>CK = BC</i>.  Отрезок <i>CK</i> пересекает биссектрису <i>AL</i> в её середине.

Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

На доске написано:

    <i>В этом предложении ... процентов цифр делятся на 2, ... процентов цифр делятся на 3, а ... процентов цифр делятся и на 2 и на 3. </i>

Вставьте вместо многоточий какие-нибудь целые числа так, чтобы написанное на доске утверждение стало верным.