Олимпиадная задача по многочленам для 8-10 классов от Канель-Белова
Задача
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, x² + ex + f не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
Решение
Обозначим эти трёхчлены через f1(x), f2(x) и f3(x). По условию все их попарные суммы не имеют корней, значит, каждая из функций f1(x) + f2(x), f2(x) + f3(x) и f3(x) + f1(x) принимает только положительные значения.
Следовательно, 2(f1(x) + f2(x) + f3(x)) = (f1(x) + f2(x)) + (f2(x) + f3(x)) + (f3(x) + f1(x)) > 0 для всех x.
Ответ
Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет