Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Московская математическая олимпиада
НазадПоследовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Какое наибольшее значение может принимать выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif"> где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру <i>a</i> ≠ 0 (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится (<i>x</i> − <i>a</i>)².
Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.
Внутри данного треугольника<i>ABC</i>найти такую точку<i>O</i>, чтобы площади треугольников<i>AOB</i>,<i>BOC</i>,<i>COA</i>относились как 1 : 2 : 3.
Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.
Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?
Доказать, что если целое <i>n</i> > 1, то 1<sup>1</sup>·2²·3³·...·<i>n<sup>n</sup> < n</i><sup><i>n</i>(<i>n</i>+1)/2</sup>.
Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Разделить <i>a</i><sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> – <i>b</i><sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> на (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup>)...(<i>a</i><sup>2<sup><i>k</i>–1</sup></sup> + <i>b</i><sup>2<sup><i>k</i>–1</sup></sup>).