Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая олимпиада» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Московская математическая олимпиада
НазадПоследовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Какое наибольшее значение может принимать выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif"> где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?
Дан прямой круговой конус и точка<i>O</i>. Найти геометрическое место вершин конусов, равных данному, с осями, параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри данную точку<i>O</i>.
Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Разделить <i>a</i><sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> – <i>b</i><sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> на (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup>)...(<i>a</i><sup>2<sup><i>k</i>–1</sup></sup> + <i>b</i><sup>2<sup><i>k</i>–1</sup></sup>).