Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся

  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;

  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше &frac15;;

  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Вершины<i>A</i>и<i>B</i>треугольника<i>ABC</i>скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол<i>C</i>не прямой, то вершина<i>C</i>перемещается при этом по эллипсу.

Докажите, что если вершины шестиугольника<i>ABCDEF</i>лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых<i>AB</i>и<i>DE</i>,<i>BC</i>и<i>EF</i>,<i>CD</i>и<i>AF</i>) лежат на одной прямой (Паскаль).

Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

Окружность<i>S</i>_Aпроходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i>_Bпроходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i>_Aи<i>S</i>_B, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i>₁. Докажите, что<i>CC</i>₁ — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.

Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i>₁в точках <i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а окружности (или прямой) <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₂и <i>C</i>₂(причем касание в <i>B</i>₂и <i>C</i>₂такое же, как в <i>B</i>₁и <i>C</i>₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁и <i>AB</i><sub...

Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i>₃, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i>₃образует равные углы с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая<i>AB</i>при инверсии относительно данной окружности с данным центром <i>O</i>.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

На прямой даны точки <i>A</i>₁, ..., <i>A_n</i> и <i>B</i>₁, ..., <i>B</i>_<i>n</i>–1. Докажите, что   <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_2.gif">   <img width="72" height="99" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/58310/problem_58310_img_3.gif"> = 1.

Выпуклый многоугольник разрезан на<i>p</i>треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть<i>n</i>и<i>m</i>— количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его. а) Докажите, что<i>p</i>=<i>n</i>+ 2<i>m</i>- 2. б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2<i>n</i>+ 3<i>m</i>- 3.

На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>} – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i>₁, ..., <i>i_k</i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M_k</i> – сумма всех чисел <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>}. Докажите, что:

  а)  <i>S</i> = <i>M</i>₁ – <i>M</i>₂ + <i>M</i>₃ – ... + (–1)&l...

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.

Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.

Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.