Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника»
глава 10. Неравенства для элементов треугольника
НазадОкружность <i>S</i><sub>1</sub>касается сторон <i>AC</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>, окружность <i>S</i><sub>2</sub>касается сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>, кроме того, <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности <i>S</i>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>так, что прямые <i>AX</i>,<i>BY</i>,<i>CZ</i>пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что из отношений <i>OA</i>:<i>OX</i>,<i>OB</i>:<i>OY</i>,<i>OC</i>:<i>OZ</i>по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AK</i>и <i>CM</i>. Докажите, что если <i>AB</i>><i>BC</i>, то <i>AM</i>><i>MK</i>><i>KC</i>.
На продолжении наибольшей стороны <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>за точку <i>C</i>взята точка <i>D</i>так, что <i>CD</i>=<i>CB</i>. Докажите, что угол <i>ABD</i>не острый.
Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<i>AO</i>sin <i>BOC</i>+<i>BO</i>sin <i>AOC</i>+<i>CO</i>sin <i>AOB</i>$\leq$<i>p</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>стороны равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>; соответственные углы (в радианах) равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$. </div>
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>биссектриса <i>AD</i>, медиана <i>BM</i>и высота <i>CH</i>пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла <i>A</i>?
Через вершину <i>A</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>проведена окружность, касающаяся стороны <i>BC</i>в точке <i>M</i>и пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>AN</i>><i>CM</i>.
Медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны. Докажите, что <i>ctgA</i>+<i>ctgB</i>$\geq$2/3.
В треугольнике <i>ABC</i>сторона <i>c</i>наибольшая, а <i>a</i>наименьшая. Докажите, что <i>l</i><sub>c</sub>$\leq$<i>h</i><sub>a</sub>.
Докажите, что если треугольник <i>ABC</i>лежит внутри треугольника <i>A'B'C'</i>, то <i>r</i><sub>ABC</sub><<i>r</i><sub>A'B'C'</sub>.
Через точку <i>O</i>пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>проведена прямая, пересекающая его стороны в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>NO</i>$\leq$2<i>MO</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.
Докажите, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>можно выбрать такие внутренние точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, что <i>AA</i><sub>1</sub>=<i>BB</i><sub>1</sub>=<i>CC</i><sub>1</sub>.
Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда <i>p</i>> 2<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что треугольник со сторонами <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>остроугольный тогда и только тогда, когда <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>> 8<i>R</i><sup>2</sup>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что<div align="CENTER"> 2(<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \alpha$ + <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \beta$ + <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>cos$\displaystyle \gamma$) $\displaystyle \geq$ <i>a</i> cos$\displaystyle \alpha$ + <i>b</i> cos$\displaystyle \beta$ + <i&g...
Пусть <i>h</i> — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что <i>r</i>+<i>R</i>$\leq$<i>h</i>.
Пусть$\angle$<i>A</i><$\angle$<i>B</i><$\angle$<i>C</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>лежит внутри треугольника<i>BOH</i>, где<i>O</i> — центр описанной окружности,<i>H</i> — точка пересечения высот.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>не превосходит половины периметра треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что если в остроугольном треугольнике <i>h</i><sub>a</sub>=<i>l</i><sub>b</sub>=<i>m</i><sub>c</sub>, то этот треугольник равносторонний.
Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то <i>m</i><sub>a</sub>+<i>m</i><sub>b</sub>+<i>m</i><sub>c</sub>$\geq$4<i>R</i>.
Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$. </div>
Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$. </div>
<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>m</i><sub>a</sub><sup>2</sup>+<i>m</i><sub>b</sub><sup>2</sup>> 29<i>r</i><sup>2</sup>.