Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники»

Точка <i>P</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>, причём   ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>.  На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> взяты такие точки <i>C</i>₁ и <i>B</i>₁, что  <i>BC</i>₁ : <i>CB</i>₁ = <i>CP</i> : <i>BP</i>.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых <i>BP</i> и <i>CP</i>, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, параллельна <i>BC</i>.

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной <i>x</i>. Найдите <i>x</i>, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.

Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Концы отрезка <i>EF</i>, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что  <i>AE</i> : <i>CF = AO</i> : <i>CO</i>.

На диагонали <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ</i>.  Точка <i>M</i> такова, что  <i>PM || AD</i>  и  <i>QM || AB</i>.

Докажите, что точка <i>M</i> лежит на диагонали <i>BD</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>MN || AC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABM = S_CBN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и средняя линия <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Прямые <i>AD</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  2<i>A</i>₁<i>K = |b – c</i>|.

На прямой <i>l</i> даны точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i>. Через точки <i>A</i> и <i>B</i>, а также через точки <i>C</i> и <i>D</i> проводятся параллельные прямые.

Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую <i>l</i> в двух фиксированных точках.

Докажите, что если  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>ABC</i>,  то   <i>BC</i>² = (<i>AC + AB</i>)·<i>AC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны центру описанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно его сторон.

Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны.

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.

Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Из произвольной точки<i>M</i>окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, опустили перпендикуляры <i>MQ</i>и<i>MP</i>на его две противоположные стороны и перпендикуляры <i>MR</i>и<i>MT</i>на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые<i>PR</i>и<i>QT</i>перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника <i>ABCD</i>.

На отрезке <i>AC</i>взята точка <i>B</i>и на отрезках <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>построены полуокружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃по одну сторону от<i>AC</i>.<i>D</i> — такая точка на<i>S</i>₃, что<i>BD</i>$\perp$<i>AC</i>. Общая касательная к<i>S</i>₁и<i>S</i>₂, касается этих полуокружностей в точках<i>F</i>и<i>E</i>соответственно. а) Докажите, что прямая <i>EF</i>параллельна касательной к<i>S</i>₃, п...

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>из середины <i>H</i>основания <i>BC</i>опущен перпендикуляр <i>HE</i>на боковую сторону <i>AC</i>;<i>O</i> — середина отрезка <i>HE</i>. Докажите, что прямые <i>AO</i>и<i>BE</i>перпендикулярны.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Постройте две прямые<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы для любой точки <i>M</i>на стороне <i>AC</i>сумма длин отрезков <i>MX</i>_Mи<i>MY</i>_M, проведенных из точки <i>M</i>параллельно прямым<i>x</i>и<i>y</i>до пересечения со сторонами <i>AB</i>и<i>BC</i>треугольника, равнялась 1.

Пусть <i>p</i> – полупериметр остроугольного треугольника <i>ABC</i>, <i>q</i> – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Докажите, что  <i>p</i> : <i>q = R</i> : <i>r</i>,  где <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>AB</i>  и  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>BC</i>,  то  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁.

Докажите, что точка, симметричная <i>A</i>₁ относительно прямой <i>AC</i>, лежит на прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁.

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что

  а) касательная в точке <i>A</i> к описанной окружности параллельна прямой <i>B</i>₁<i>C</i>₁;

  б)  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>OA</i>,  где <i>O</i> – центр описанной окружности.

Из вершины <i>C</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> опущена высота <i>CH</i>, а из точки <i>H</i> опущены перпендикуляры <i>HM</i> и <i>HN</i> на стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>MNC</i> и <i>ABC</i> подобны.