Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства»
глава 9. Геометрические неравенства
НазадДан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.
Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
а) Выпуклые многоугольники <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>таковы, что все их соответственные стороны, кроме <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>n</sub>и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>n</sub>, равны и $\angle$<i>A</i><sub>2</sub>$\geq$$\angle$<i>B</i><sub>2</sub>,...,$\angle$<i>A</i><sub>n - 1</sub>$\geq$$\angle$<i>B</i><sub>n - 1</sub>, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>A</...
Докажите, что при <i>n</i>$\geq$7 внутри выпуклого <i>n</i>-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.
Внутри правильного многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>. Докажите, что по крайней мере один из углов <i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>удовлетворяет неравенствам $\pi$(1 - 1/<i>n</i>)$\leq$$\angle$<i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>$\leq$$\pi$.
Правильный 2<i>n</i>-угольник <i>M</i><sub>1</sub>со стороной <i>a</i>лежит внутри правильного 2<i>n</i>-угольника <i>M</i><sub>2</sub>со стороной 2<i>a</i>. Докажите, что многоугольник <i>M</i><sub>1</sub>содержит центр многоугольника <i>M</i><sub>2</sub>.
Внутри выпуклого многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине <i>A</i><sub>k</sub>,<i>x</i><sub>k</sub>=<i>OA</i><sub>k</sub>,<i>d</i><sub>k</sub> — расстояние от точки <i>O</i>до прямой <i>A</i><sub>k</sub><i>A</i><sub>k + 1</sub>. Докажите, что $\sum$<i>x</i><sub>k</sub>sin($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$$\sum$<i>d</i><sub>k</sub>и $\sum$<i>x</i><sub>k</sub>cos($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$<i>p</i>, где <i>p</i&g...
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.
Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра <i>P</i>можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на <i>P</i>/3.
а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны <i>a</i>и <i>b</i>, то его длина не меньше (<i>a</i>+<i>b</i>)/$\sqrt{2}$. б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$(<i>a</i>+<i>b</i>).
Семиугольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>7</sub>вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах <i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>5</sub>меньше 450<sup><tt>o</tt></sup>.
Длины сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей <i>AD</i>,<i>BE</i>,<i>CF</i>меньше 2.
Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>не превосходит 1.
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка <i>P</i>. Докажите, что расстояния от точки <i>P</i>до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.
Пусть <i>ABCDE</i> — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем <i>AB</i>=<i>a</i>,<i>BC</i>=<i>b</i>,<i>CD</i>=<i>c</i>,<i>DE</i>=<i>d</i>,<i>AE</i>= 2. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> + <i>c</i><sup>2</sup> + <i>d</i><sup>2</sup> + <i>abc</i> + <i>bcd</i> < 4. </div>
Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36<sup><tt>o</tt></sup>.